Reconnaître et déterminer une fonction affine

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Tests
1. Reconnaître une fonction affine
a) Définition
• Soit a et b deux nombres fixés ; la fonction qui, à un nombre x, fait correspondre le nombre ax + b est appelée fonction affine ; cette fonction est notée x → ax + b.
Ainsi, la fonction x → 2x + 5 est une fonction affine.
• Cas particuliers :
  • si b = 0, la fonction affine x → ax + b s'écrit x → ax ; c'est donc une fonction linéaire. On peut donc dire qu'une fonction linéaire est une fonction affine particulière ;
  • si a = 0, la fonction affine x → 0x + b est une fonction constante : x → b. L'image de tout nombre x par cette fonction est b.
b) Application
Parmi les fonctions suivantes, on veut sélectionner celles qui sont affines et préciser, alors, les valeurs de a et de b si ces fonctions affines sont notées sous la forme x → ax + b.
x → −6x − 2 ; x → 3x2 + 8 ; x → 12x ; x → 5,4 ; x \rightarrow - \frac {5} {6} x^2 +5x.
La fonction x → −6x − 2 est affine : a = −6 et b = −2.
La fonction x → 12x est affine : a = 12 et b = 0. Cette fonction est aussi linéaire.
La fonction x → 5,4 est affine : a = 0 et b = 5,4. Il s'agit d'une fonction constante.
Les deux autres fonctions ne sont pas affines.
Test n°1Test n°2Test n°3
2. Déterminer une fonction affine par le calcul
On sait qu'une fonction affine est une fonction du type x → ax + b, où a et b sont des nombres fixés. Une fonction affine est donc déterminée par la connaissance des deux nombres a et b.
a) On connaît les images de deux nombres donnés
On veut déterminer la fonction affine telle que 4 → 5 et 2  → −1.
Toute application affine est de la forme x → ax + b. Calculons a et b.
• Pour cela, on écrit que pour x = 4, on a 4 → a ×  4 + b. En identifiant les écritures 4 →  a × 4 + b et 4 → 5, on obtient l'équation : 4a + b = 5.
Pour x = 2, on a : 2 → a × 2 + b. En identifiant les écritures 2 → a × 2 + b et 2 → −1, on obtient l'équation : 2a + b = −1.
• On doit donc résoudre un système de deux équations dont les inconnues sont a et b :
\left \lbrace \begin {array} {l} 4a+b=5 \\ 2a+b=-1 \end {array} \right.
Résolvons ce système par substitution ; on obtient successivement :
\left \lbrace \begin {array} {l} b=5-4a \\ 2a+(5-4a)=-1 \end {array} \right. ; \left \lbrace \begin {array} {l} b=5-4a \\ -2a=-1-5 \end {array} \right. ; \left \lbrace \begin {array} {l} b=5-4a \\ a=3 \end {array} \right. ;
\left \lbrace \begin {array} {l} b=5-4\times3 \\ a=3 \end {array} \right. ; \left \lbrace \begin {array} {l} b=-7 \\ a=3 \end {array} \right. .
La fonction affine cherchée est donc : x → 3x − 7.
b) Autre situation
• Un automobiliste part d'une ville A pour se rendre à une ville B, distante de A de 750 km. Il roule à la vitesse constante de 90 km/h. On veut démontrer que la fonction qui, à la durée du parcours (en h), fait correspondre la distance (en km) qui sépare l'automobiliste de la ville B est une fonction affine et la déterminer.
• Appelons x la durée du parcours en heures. Au bout de x heures, l'automobiliste a parcouru 90x km. La distance (en km) séparant l'automobiliste de la ville B est donc égale à :
750 − 90x, soit −90x + 750.
Par conséquent, la fonction qui à la durée x du parcours (en h) fait correspondre la distance (en km) qui sépare l'automobiliste de la ville B est la fonction affine : x → −90x + 750.
Test n°4Test n°5Test n°6
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