Appliquer le théorème de Thalès

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Tests
1. Le théorème de Thalès
a) Énoncé du théorème
• Soit d et d' deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A et que C et N sont deux points de d' distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors \frac {\mathrm{AM}} {\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}} {\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{MN}} {\mathrm{BC}}.
• Ce théorème peut être appliqué dans deux cas de figure, appelés « situations de Thalès ».
Première situation : le point M est sur le segment [AB] et le point N est sur le segment [AC] (voir Figure 1).
Deuxième situation : le point A est sur le point d'intersection des segments [MB] et [NC] (voir Figure 2).
• Remarques :
  • Chacune de ces deux situations fait apparaître deux triangles AMN et ABC dont les côtés sont deux à deux parallèles.
  • On notera que, dans les égalités \frac{\mathrm{AM}} {\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}} {\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}, les côtés d'un triangle (ici AMN) figurent tous au numérateur et les côtés parallèles correspondants de l'autre triangle (ici ABC) figurent tous au dénominateur.
  • L'égalité des trois rapports indique que l'un des triangles est un agrandissement de l'autre (sauf si ces rapports sont égaux à 1 dans la deuxième situation, auquel cas les deux triangles ont les mêmes dimensions).
b) Application
Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs.
• Sur la figure ci-après, les droites (AC) et (BD) sont parallèles. L'unité de longueur est le centimètre. On donne OA = 2,5 ; OB = 3; OC = 2 ; OB = 4,8. On veut calculer les longueurs OD et AC.
• Puisque les droites (AC) et (BD) sont parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès.
On obtient \frac{\mathrm{OA}} {\mathrm{OB}} = \frac{\mathrm{OC}} {\mathrm{OD}} = \frac{\mathrm{AC}} {\mathrm{BD}}, donc \frac{2,5} {3} = \frac{2} {\mathrm{OD}} = \frac{\mathrm{AC}}{4,8}.
À partir de \frac{2,5} {3} = \frac{2} {\mathrm{OD}}, on obtient \mathrm{OD}=\frac{{2}\times{3}} {2,5}, soit OD = 2,4 cm.
À partir de \frac{2,5}{3} = \frac{\mathrm{AC}} {4,8}, on obtient \mathrm{AC} = \frac{{2,5}\times{4,8}} {3}, soit AC = 4 cm.
Test n°1Test n°2
2. La réciproque du théorème de Thalès
a) Énoncé de la réciproque du théorème de Thalès
• Soit d et d' deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A, et que C et N sont deux points de d' distincts de A.
Si les points A, M, B sont alignés dans le même ordre que les points A, N, C et si \frac{\mathrm{AM}} {\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}} {\mathrm{AC}}, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
• Remarques :
  • Seuls deux rapports égaux interviennent dans l'hypothèse de la réciproque du théorème de Thalès : ce sont les rapports des longueurs des côtés portés par les deux droites sécantes.
  • L'ordre d'alignement des points est très important.
b) Application
• Sur la figure ci-après où l'unité de longueur est le centimètre, on donne EP = 2 ; ER = 6,4 ; EG = 3 et EH = 9,6. On veut démontrer que les droites (PG) et (RH) sont parallèles.
• Les points E, P, R sont alignés dans le même ordre que E, G, H. Comparons les rapports \frac{\mathrm{EP}} {\mathrm{ER}} et \frac{\mathrm{EG}} {\mathrm{EH}}.
\frac{\mathrm{EP}} {\mathrm{ER}} = \frac{2} {6,4} = 0,3125 et \frac{\mathrm{EG}} {\mathrm{EH}} = \frac{3} {9,6} =0,3125. On a donc \frac{\mathrm{EP}} {\mathrm{ER}} = \frac{\mathrm{EG}} {\mathrm{EH}}.
En appliquant la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (PG) et (RH) sont parallèles.
Test n°3Test n°4
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