Appliquer le théorème de Thalès

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Tests

1. Le théorème de Thalès

a) Énoncé du théorème

• Soit d et d' deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A et que C et N sont deux points de d' distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors $\frac {\mathrm{AM}} {\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}} {\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{MN}} {\mathrm{BC}}$ .

• Ce théorème peut être appliqué dans deux cas de figure, appelés « situations de Thalès ».
Première situation : le point M est sur le segment [AB] et le point N est sur le segment [AC] (voir Figure 1).
Deuxième situation : le point A est sur le point d'intersection des segments [MB] et [NC] (voir Figure 2).

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• Remarques :

Chacune de ces deux situations fait apparaître deux triangles AMN et ABC dont les côtés sont deux à deux parallèles.
On notera que, dans les égalités $\frac{\mathrm{AM}} {\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}} {\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{BC}}$ , les côtés d'un triangle (ici AMN) figurent tous au numérateur et les côtés parallèles correspondants de l'autre triangle (ici ABC) figurent tous au dénominateur.
L'égalité des trois rapports indique que l'un des triangles est un agrandissement de l'autre (sauf si ces rapports sont égaux à 1 dans la deuxième situation, auquel cas les deux triangles ont les mêmes dimensions).

b) Application

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs.

• Sur la figure ci-après, les droites (AC) et (BD) sont parallèles. L'unité de longueur est le centimètre. On donne OA = 2,5 ; OB = 3; OC = 2 ; OB = 4,8. On veut calculer les longueurs OD et AC.

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• Puisque les droites (AC) et (BD) sont parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès.
On obtient $\frac{\mathrm{OA}} {\mathrm{OB}} = \frac{\mathrm{OC}} {\mathrm{OD}} = \frac{\mathrm{AC}} {\mathrm{BD}}$ , donc $\frac{2,5} {3} = \frac{2} {\mathrm{OD}} = \frac{\mathrm{AC}}{4,8}$ .
À partir de $\frac{2,5} {3} = \frac{2} {\mathrm{OD}}$ , on obtient $\mathrm{OD}=\frac{{2}\times{3}} {2,5}$ , soit OD = 2,4 cm.
À partir de $\frac{2,5}{3} = \frac{\mathrm{AC}} {4,8}$ , on obtient $\mathrm{AC} = \frac{{2,5}\times{4,8}} {3}$ , soit AC = 4 cm.
Test n°1 Test n°2

2. La réciproque du théorème de Thalès

a) Énoncé de la réciproque du théorème de Thalès

• Soit d et d' deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A, et que C et N sont deux points de d' distincts de A.
Si les points A, M, B sont alignés dans le même ordre que les points A, N, C et si $\frac{\mathrm{AM}} {\mathrm{AB}} = \frac{\mathrm{AN}} {\mathrm{AC}}$ , alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

• Remarques :

Seuls deux rapports égaux interviennent dans l'hypothèse de la réciproque du théorème de Thalès : ce sont les rapports des longueurs des côtés portés par les deux droites sécantes.
L'ordre d'alignement des points est très important.

b) Application

• Sur la figure ci-après où l'unité de longueur est le centimètre, on donne EP = 2 ; ER = 6,4 ; EG = 3 et EH = 9,6. On veut démontrer que les droites (PG) et (RH) sont parallèles.

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• Les points E, P, R sont alignés dans le même ordre que E, G, H. Comparons les rapports $\frac{\mathrm{EP}} {\mathrm{ER}}$ et $\frac{\mathrm{EG}} {\mathrm{EH}}$ .
$\frac{\mathrm{EP}} {\mathrm{ER}} = \frac{2} {6,4} = 0,3125$ et $\frac{\mathrm{EG}} {\mathrm{EH}} = \frac{3} {9,6} =0,3125$ . On a donc $\frac{\mathrm{EP}} {\mathrm{ER}} = \frac{\mathrm{EG}} {\mathrm{EH}}$ .
En appliquant la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites (PG) et (RH) sont parallèles.
Test n°3 Test n°4

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