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Préparation aux épreuves
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Autour de la fonction publique
1. Le théorème de Thalès
a) Énoncé du théorème
• Soit d et d' deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A et que C et N sont deux points de d' distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors
.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors

• Ce théorème peut être appliqué dans deux cas de figure, appelés « situations de Thalès ».
Première situation : le point M est sur le segment [AB] et le point N est sur le segment [AC] (voir Figure 1).
Deuxième situation : le point A est sur le point d'intersection des segments [MB] et [NC] (voir Figure 2).
Première situation : le point M est sur le segment [AB] et le point N est sur le segment [AC] (voir Figure 1).
Deuxième situation : le point A est sur le point d'intersection des segments [MB] et [NC] (voir Figure 2).
• Remarques :
- Chacune de ces deux situations fait apparaître deux triangles AMN et ABC dont les côtés sont deux à deux parallèles.
- On notera que, dans les égalités
, les côtés d'un triangle (ici AMN) figurent tous au numérateur et les côtés parallèles correspondants de l'autre triangle (ici ABC) figurent tous au dénominateur.
- L'égalité des trois rapports indique que l'un des triangles est un agrandissement de l'autre (sauf si ces rapports sont égaux à 1 dans la deuxième situation, auquel cas les deux triangles ont les mêmes dimensions).
b) Application
Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs.
• Sur la figure ci-après, les droites (AC) et (BD) sont parallèles. L'unité de longueur est le centimètre. On donne OA = 2,5 ; OB = 3; OC = 2 ; OB = 4,8. On veut calculer les longueurs OD et AC.
2. La réciproque du théorème de Thalès
a) Énoncé de la réciproque du théorème de Thalès
• Soit d et d' deux droites sécantes en A. On suppose que B et M sont deux points de d distincts de A, et que C et N sont deux points de d' distincts de A.
Si les points A, M, B sont alignés dans le même ordre que les points A, N, C et si
, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Si les points A, M, B sont alignés dans le même ordre que les points A, N, C et si

• Remarques :
- Seuls deux rapports égaux interviennent dans l'hypothèse de la réciproque du théorème de Thalès : ce sont les rapports des longueurs des côtés portés par les deux droites sécantes.
- L'ordre d'alignement des points est très important.
b) Application
• Sur la figure ci-après où l'unité de longueur est le centimètre, on donne EP = 2 ; ER = 6,4 ; EG = 3 et EH = 9,6. On veut démontrer que les droites (PG) et (RH) sont parallèles.