Calcul vectoriel. Barycentre

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Fiche
Tests
Cochez la bonne réponse.
Soit ABCD un carré du plan. Pour tout réel m, on considère le système pondéré (A, m), (B, 1) et (C, −1) et on note E l'ensemble des valeurs réelles de m pour lesquelles son barycentre G_m est bien défini.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte ?
Cochez la bonne réponse.
G_{ - 2} est le milieu du segment [AD].
E = - \left\{ 1 \right\}
G_1 = D
Score : .. /20
Commentaire
• Le point {\rm{G}}_{ - 2} est le barycentre de (A, - 2), (B, 1) et (C, −1), donc {\rm{G}}_{ - 2} est défini par la relation vectorielle - 2\overrightarrow {{\rm{G}}_{ - 2} {\rm{A}}} + \overrightarrow {{\rm{G}}_{ - 2} {\rm{B}}} - \overrightarrow {{\rm{G}}_{ - 2} {\rm{C}}} = \overrightarrow 0, que l'on transforme à l'aide de la relation de Chasles en \overrightarrow {{\rm{AG}}_{ - 2} } = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{BC}}}.
Comme ABCD est un carré, \overrightarrow {{\rm{BC}}} = \overrightarrow {{\rm{AD}}} et donc \overrightarrow {{\rm{AG}}_{ - 2} } = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{AD}}}, d'où {\rm{G}}_{ - 2} est le milieu du segment [AD].
• La proposition : « E = - \left\{ 1 \right\} » est fausse car la somme des coefficients est m donc le barycentre existe si et seulement si m est non nul.
• La proposition : « {\rm{G}}_1 = {\rm{D}} » est fausse. En effet, par associativité du barycentre, {\rm{G}}_1 est le barycentre de (I, 2) et (C, - 1), où I désigne le milieu de [AB]. Or le point D n'est pas situé sur la droite (IC), donc D ne peut pas être le barycentre de (I, 2) et (C, - 1).
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