Dérivation

-----------------------------------------------

icone Fiche

Tests

Les calculs de dérivées ont de nombreuses applications, ils permettent, entre autres :
– de déterminer les variations d'une fonction, si celle-ci est dérivable sur un ou plusieurs intervalles,
– de déterminer ses extrema locaux éventuels,
– de faire des approximations affines à l'aide de la notion de tangente,
– de calculer certaines limites, etc.

1. Qu'est-ce que la dérivée ? Que représente-t-elle ?

• Une fonction f est dérivable en un réel a de son ensemble de définition si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie quand x tend vers a. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a et est noté f'(a) : $f^{\prime}(a)=\mathop {\lim}\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\mathop {\lim}\limits_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout réel a appartenant à I et on appelle fonction dérivée de f la fonction qui, à tout $x\in{I}$ , associe le réel f'(x).
Test n°1

2. Quelles sont les formules de dérivées à connaître ?

À part les formules de dérivées d'une fonction logarithme et d'une fonction exponentielle (voir les thèmes correspondants), seules les formules suivantes sont indispensables à connaître :

Fonction f	Dérivée f'
$\lambda$	0
$\lambda{\times}u$	$\lambda{\times}u^{\prime}$
u + v	u' + v'
u x v	u'v + uv'
$\frac{u}{v}(v\neq{0})$	$\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}$
$u\,\circ\,v$	$(u^{\prime}\,\circ\,v)\times{v^{\prime}}$
$u^{\alpha}$	$\alpha\,u^{\prime}u^{\alpha-1}$
$\cos{u}$	$-u^{\prime}\sin{u}$
$\sin{u}$	$u^{\prime}\,\cos{u}$

où u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle de Ensemble R

et α et λ deux réels quelconques.
Test n°2 Test n°3

3. Comment déduit-on des formules précédentes les autres formules de dérivation ?

Sachant que $\frac{1}{u^{\alpha}}=u^{-\alpha}$ et que $\sqrt{u}=u^{1/2}$ , il est possible de déterminer les dérivées du type $\left(\frac{1}{u^{\alpha}}\right)^{\prime}$ et $(\sqrt{u})^{\prime}$ à l'aide de la dérivée de $(u^{\alpha})$ donnée dans le paragraphe 2.

De même, on sait que pour $x\neq{\frac{\pi}{2}}+k\pi$ , où $k\in$ Ensemble Z

, $\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}.$ On peut déduire, à l'aide des formules de dérivées d'une fonction composée et des fonctions sinus et cosinus, toutes dérivées de fonctions tangente.
On retiendra que $(\tan{x})^{\prime}=\frac{1}{\cos^{2}x}$ et donc que $(\tan{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos^{2}u}.$
Test n°4

4. Quelle est l'équation de la tangente à une courbe en un point où la fonction est dérivable ?

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de Ensemble R

et $a\in{I}$ , alors le nombre dérivé de f en a, égal à $\mathop {\lim}\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ et noté f'(a), est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C de f au point $\mathrm{A}(a\,;\,f(a)).$
Ainsi, une équation de T est : y = f'(a)(x − a) + f(a).

5. Comment détermine-t-on le sens de variation d'une fonction dérivable sur un intervalle ?

• On utilise le théorème ci-dessous :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de Ensemble R

. On note f' sa dérivée sur I :
– si f' = 0 sur I, alors f est constante sur I ;
– si f' > 0 (respectivement f' < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f' = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.

• Ce théorème permet également de déterminer les extrema locaux (maxima et minima locaux) éventuels d'une fonction sur un intervalle donné ; le tableau de variation les met clairement en évidence.
Test n°5 Test n°6

Écouter

Pause

À retenir

• Une fonction f est dérivable en un réel a de son ensemble de définition si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a : $f^{\prime}(a)=\mathop {\lim}\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\mathop {\lim}\limits_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

• Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de Ensemble R

et a appartient à I, alors le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f, au point A de coordonnées (a ; f(a)).

• Le signe de la fonction dérivée donne le sens de variation de la fonction :
– si f' = 0 sur I, alors f est constante sur I ;
– si f' > 0 (respectivement f' < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f' = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.

Imprimer Partager