Dérivation

-----------------------------------------------
icone Fiche
Tests
Les calculs de dérivées ont de nombreuses applications, ils permettent, entre autres :
– de déterminer les variations d'une fonction, si celle-ci est dérivable sur un ou plusieurs intervalles,
– de déterminer ses extrema locaux éventuels,
– de faire des approximations affines à l'aide de la notion de tangente,
– de calculer certaines limites, etc.
1. Qu'est-ce que la dérivée ? Que représente-t-elle ?
• Une fonction f est dérivable en un réel a de son ensemble de définition si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie quand x tend vers a. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a et est noté f'(a) : f^{\prime}(a)=\mathop {\lim}\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\mathop {\lim}\limits_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout réel a appartenant à I et on appelle fonction dérivée de f la fonction qui, à tout x\in{I}, associe le réel f'(x).
Test n°1
2. Quelles sont les formules de dérivées à connaître ?
À part les formules de dérivées d'une fonction logarithme et d'une fonction exponentielle (voir les thèmes correspondants), seules les formules suivantes sont indispensables à connaître :
Fonction f
Dérivée f' 
\lambda
0
\lambda{\times}u
\lambda{\times}u^{\prime}
u + v
u' + v'
u x v
u'v + uv'
\frac{u}{v}(v\neq{0})
\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^{2}}
u\,\circ\,v
(u^{\prime}\,\circ\,v)\times{v^{\prime}}
u^{\alpha}
\alpha\,u^{\prime}u^{\alpha-1}
\cos{u}
-u^{\prime}\sin{u}
\sin{u}
u^{\prime}\,\cos{u}

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle de Ensemble R et α et λ deux réels quelconques.
Test n°2Test n°3
3. Comment déduit-on des formules précédentes les autres formules de dérivation ?
Sachant que \frac{1}{u^{\alpha}}=u^{-\alpha} et que \sqrt{u}=u^{1/2}, il est possible de déterminer les dérivées du type \left(\frac{1}{u^{\alpha}}\right)^{\prime} et (\sqrt{u})^{\prime} à l'aide de la dérivée de (u^{\alpha}) donnée dans le paragraphe 2.
De même, on sait que pour x\neq{\frac{\pi}{2}}+k\pi, où k\inEnsemble Z, \tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}. On peut déduire, à l'aide des formules de dérivées d'une fonction composée et des fonctions sinus et cosinus, toutes dérivées de fonctions tangente.
On retiendra que (\tan{x})^{\prime}=\frac{1}{\cos^{2}x} et donc que (\tan{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos^{2}u}.
Test n°4
4. Quelle est l'équation de la tangente à une courbe en un point où la fonction est dérivable ?
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de Ensemble R et a\in{I}, alors le nombre dérivé de f en a, égal à \mathop {\lim}\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} et noté f'(a), est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C de f au point  \mathrm{A}(a\,;\,f(a)).
Ainsi, une équation de T est : y = f'(a)(x − a) + f(a).
5. Comment détermine-t-on le sens de variation d'une fonction dérivable sur un intervalle ?
• On utilise le théorème ci-dessous :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de Ensemble R. On note f' sa dérivée sur I :
– si f' = 0 sur I, alors f est constante sur I ;
– si f' > 0 (respectivement f' < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f' = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.
• Ce théorème permet également de déterminer les extrema locaux (maxima et minima locaux) éventuels d'une fonction sur un intervalle donné ;  le tableau de variation les met clairement en évidence.
Test n°5Test n°6
À retenir
• Une fonction f est dérivable en un réel a de son ensemble de définition si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a : f^{\prime}(a)=\mathop {\lim}\limits_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\mathop {\lim}\limits_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
• Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de Ensemble R et a appartient à I, alors le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f, au point A de coordonnées (a ; f(a)).
• Le signe de la fonction dérivée donne le sens de variation de la fonction :
– si f' = 0 sur I, alors f est constante sur I ;
– si f' > 0 (respectivement f' < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f' = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.
------------------------------------------------------------
copyright © 2006-2018, rue des écoles