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Préparation aux épreuves
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Autour de la fonction publique
Les calculs de dérivées ont de nombreuses applications, ils permettent, entre autres :
– de déterminer les variations d'une fonction, si celle-ci est dérivable sur un ou plusieurs intervalles,
– de déterminer ses extrema locaux éventuels,
– de faire des approximations affines à l'aide de la notion de tangente,
– de calculer certaines limites, etc.
– de déterminer les variations d'une fonction, si celle-ci est dérivable sur un ou plusieurs intervalles,
– de déterminer ses extrema locaux éventuels,
– de faire des approximations affines à l'aide de la notion de tangente,
– de calculer certaines limites, etc.
1. Qu'est-ce que la dérivée ? Que représente-t-elle ?
• Une fonction f est dérivable en un réel a de son ensemble de définition si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie quand x tend vers a. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a et est noté f'(a) : 

• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout réel a appartenant à I et on appelle fonction dérivée de f la fonction qui, à tout
, associe le réel f'(x).
Test n°1

Test n°1
2. Quelles sont les formules de dérivées à connaître ?
À part les formules de dérivées d'une fonction logarithme et d'une fonction exponentielle (voir les thèmes correspondants), seules les formules suivantes sont indispensables à connaître :
Fonction f | Dérivée f' |
![]() | 0 |
![]() | ![]() |
u + v | u' + v' |
u x v | u'v + uv' |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
3. Comment déduit-on des formules précédentes les autres formules de dérivation ?
Sachant que
et que
, il est possible de déterminer les dérivées du type
et
à l'aide de la dérivée de
donnée dans le paragraphe 2.





De même, on sait que pour
, où 
,
On peut déduire, à l'aide des formules de dérivées d'une fonction composée et des fonctions sinus et cosinus, toutes dérivées de fonctions tangente.
On retiendra que
et donc que 
Test n°4




On retiendra que


Test n°4
4. Quelle est l'équation de la tangente à une courbe en un point où la fonction est dérivable ?
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de
et
, alors le nombre dérivé de f en a, égal à
et noté f'(a), est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe C de f au point 
Ainsi, une équation de T est : y = f'(a)(x − a) + f(a).




Ainsi, une équation de T est : y = f'(a)(x − a) + f(a).
5. Comment détermine-t-on le sens de variation d'une fonction dérivable sur un intervalle ?
• On utilise le théorème ci-dessous :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de
. On note f' sa dérivée sur I :
– si f' = 0 sur I, alors f est constante sur I ;
– si f' > 0 (respectivement f' < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f' = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de

– si f' = 0 sur I, alors f est constante sur I ;
– si f' > 0 (respectivement f' < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f' = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.
À retenir
• Une fonction f est dérivable en un réel a de son ensemble de définition si le taux d'accroissement de f en a admet une limite finie. Dans ce cas, ce réel est appelé le nombre dérivé de f en a : 

• Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de
et a appartient à I, alors le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f, au point A de coordonnées (a ; f(a)).

• Le signe de la fonction dérivée donne le sens de variation de la fonction :
– si f' = 0 sur I, alors f est constante sur I ;
– si f' > 0 (respectivement f' < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f' = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.
– si f' = 0 sur I, alors f est constante sur I ;
– si f' > 0 (respectivement f' < 0) sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où f' = 0, alors f est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I.