Équations de droites et systèmes d'équations linéaires

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On doit à René Descartes (1596-1650), philosophe et mathématicien, la méthode qui consiste à remplacer un problème de géométrie par un problème numérique à l'aide d'équations dites cartésiennes.
Comment déterminer une équation de droite ? En quoi des équations de droites permettent-elles de résoudre des problèmes de parallélisme ou d'orthogonalité ? Voilà deux questions que l'on va être amené à se poser dans ce chapitre.
On verra par ailleurs qu'un système de deux équations à deux inconnues peut s'interpréter à l'aide d'équations de droites ; en effet, résoudre un tel système revient à chercher les coordonnées d'un point d'intersection de deux droites.
1. Comment déterminer une équation de droite ?
• Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points donnés dans un repère, déterminer une équation de la droite(AB) consiste à chercher une condition qui soit nécessaire et suffisante pour qu'un point M(x ; y) soit aligné avec A et B : cette condition est la colinéarité des vecteurs \overrightarrow{\rm{AM}} et \overrightarrow {\rm{AB}}.
Le vecteur \overrightarrow {\rm{AB}} a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA), le vecteur \overrightarrow {\rm{AM}} a pour coordonnées (x − xA ; y − yA), la condition de colinéarité s'écrit alors : (x − xA)(yB − yA) = (y − yA)(xB − xA).
• On distingue deux cas :
– si les points A et B ont la même abscisse k, soit x_{B} - x_{A} = 0, l'équation de la droite (AB) est alors x = k, cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées ;
– si x_{B} - x_{A} \ne 0, on peut calculer le coefficient directeur de la droite (AB) m = \frac{{y_{B} - y_{A} }}{{x_{B}} - x_{A} } et l'ordonnée à l'origine p = y_{A} - mx_{A}. L'équation de la droite (AB) est alors : y = mx + p.
• Réciproquement, dans un repère du plan, l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y) tels que y = mx + p est une droite qui n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.
Exemple
Soit les deux points A(4 ; 2) et B(−1 ; 3) et M un point quelconque de coordonnées (x ; y).
On calcule les coordonnées des vecteurs \overrightarrow {\rm{AM}} et \overrightarrow {\rm{AB}}, on obtient \overrightarrow {\rm{AM}} \left| {\begin{array}{l} {x - 4} \\ {y - 2} \\ \end{array}} \right. et \overrightarrow {\rm{AB}} \left| {\begin{array}{l} { - 5} \\ 1 \\ \end{array}} \right..
On écrit alors que M est aligné avec A et B si et seulement si les « produits en croix » sont égaux, ce qui se traduit par l'équation \left( {x - 4} \right) \times 1 = \left( {y - 2} \right) \times ( - 5), qui est l'équation de la droite (AB).
Après transformation de l'égalité, on obtient l'équation : y = \frac{{ - x + 14}}{5} = \frac{{ - 1}}{5}x + \frac{{14}}{5}.
2. Comment utiliser une équation de droite ?
• Pour dire si un point est sur une droite : on remplace les inconnues de l'équation de la droite par les coordonnées du point et on vérifie si l'équation ainsi obtenue est vraie.
Par exemple, le point E de coordonnées (2 ; −1) est-il sur la droite d'équation y = - 2x + 3 ?
Pour répondre, on remplace x par 2 dans la formule - 2x + 3 ; si l'on trouve −1 le point est sur la droite, sinon il ne l'est pas.
Ici - 2 \times 2 + 3 = - 1 donc le point E est bien sur la droite.
• Pour construire une droite, connaissant son équation, on distingue deux cas :
– si l'équation est de la forme x = k, la droite est parallèle à l'axe des ordonnées ; on place le point de coordonnées (k ; 0) et on trace la droite ;
– si l'équation est de la forme y = mx + p, on choisit deux valeurs distinctes x1 et x2 de x et on trace la droite qui passe par les points de coordonnées (x1 ; mx1 + p) et (x2 ; mx2 + p). On peut en particulier choisir x = 0 et x = - \frac{p}{m}, la droite passe donc par les points (0 ; p) et ( - \frac{p}{m}\,;\;0).
Exemple
On veut tracer la droite d'équation y = \frac{{ - 1}}{3}x + 4.
On choisit une valeur de x, par exemple 6 pour pouvoir diviser par 3, puis on calcule : y = \frac{{ - 1}}{3} \times 6 + 4 = - 2 + 4 = 2. On obtient le point A de coordonnées (6 ; 2).
On recommence avec une autre valeur de x, par exemple −3 ; on calcule y et on obtient le point B de coordonnées (-3 ; 5).
Il reste à placer ces points et à tracer la droite.
3. Quels problèmes de géométrie peut-on résoudre à l'aide d'équations de droites ?
• On peut démontrer que deux droites sont parallèles.
Deux droites d'équations respectives y = mx + p et y = m'x + p' sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur, c'est-à-dire si m = m'.
Par exemple, la droite d'équation y = \frac{{2x - 3}}{5} et la droite d'équation y = 0,4x - 1 sont parallèles car on peut écrire y = \frac{{2x - 3}}{5} = \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} et \frac{2}{5} = 0,4.
• On peut déterminer l'équation réduite de la parallèle à une droite donnée passant par un point donné.
Par exemple, la parallèle à la droiet d'équation y=2x+3 passant par le point A(1 ; 4) a aussi le coefficient directeur 2. Son ordonnée à l'origine b est donnée par : b=4-2\times 1=2. D'où l'équation cherchée : y=2x+2.
Test n°3
4. Comment déterminer par le calcul le point d'intersection de deux droites ?
• Une équation d'une droite D peut s'écrire sous la forme ax + by = c avec a et b non simultanément nuls. Une telle équation s'appelle équation linéaire à deux inconnues. Les solutions de cette équation sont les coordonnées des points de la droite D.
• Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection de deux droites revient à résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues constitué des deux équations des deux droites. C'est un système de la forme : \left\{ \begin{array}{l} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \\ \end{array} \right..
Résoudre un tel système, c'est trouver tous les couples \left( {x\,;\;y} \right) qui sont solutions des deux équations en même temps. Si de tels couples existent, les points qu'ils repèrent appartiennent aux droites d'équations respectives ax + by = c et a'x + b'y = c'.
On distingue trois cas présentés dans le tableau ci-dessous.
Position des droites
Critère algébrique
Solutions
Droites sécantes en A(xA ; yA)
ab' \ne a'b, les coefficients directeurs \frac{{ - a}}{b} et \frac{{ - a'}}{{b'}} des deux droites sont différents
Une solution unique : le couple (xA ; yA) est solution du système
Droites strictement parallèles
ab' = a'b et ac' \ne a'c
Pas de solution
Droites confondues
ab' = a'b et ac' = a'c
Tous les couples (x ; y) qui vérifient l'équation ax + by = c sont solutions, il y en a une infinité

• Il existe deux méthodes pour résoudre algébriquement un système de deux équations linéaires à deux inconnues :
– la méthode par substitution, qui consiste à exprimer une des inconnues en fonction de l'autre dans une équation puis à remplacer cette inconnue par l'expression obtenue dans l'autre équation ;
– la méthode par combinaison, qui consiste à obtenir, en combinant les deux équations, une équation dans laquelle il n'y a plus qu'une inconnue. Cette équation étant résolue, on calcule l'autre inconnue en utilisant la valeur trouvée.
Test n°4Test n°5
À retenir
• Si une droite est parallèle à l'axe des ordonnées, alors son équation est de la forme x = k : sinon son équation est de la forme y = mx + p, où m est son coefficient directeur et p son ordonnée à l'origine.
• Deux droites sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont égaux.
• Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1.
• Calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites revient à résoudre le système constitué des deux équations des droites en question.
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