Faire des calculs trigonométriques

-----------------------------------------------
icone Fiche
Tests
1. Définitions et propriétés
a) Définitions
• Étant donné un triangle ABC rectangle en B, considérons l'un de ses angles aigus, \widehat{\mathrm{A}} par exemple. Le côté [BC] est appelé côté opposé à l'angle \widehat{\mathrm{A}}, le côté [AB] est appelé côté adjacent à l'angle \widehat{\mathrm{A}}.
• On définit alors les trois rapports suivants :
\sin {\widehat{\mathrm{A}}}=\frac {\mathrm{longueur\,du\,cot\acute{e}\,oppos\acute{e}\,\grave{a}\,}\widehat{\mathrm{A}}}{\mathrm{longueur\,de\,l'hypot\acute{e}nuse}}
\cos {\widehat{\mathrm{A}}}=\frac {\mathrm{longueur\,du\,cot\acute{e}\,adjacent\,\grave{a}\,}\widehat{\mathrm{A}}}{\mathrm{longueur\,de\,l'hypot\acute{e}nuse}}
\tan {\widehat{\mathrm{A}}}=\frac {\mathrm{longueur\,du\,cot\acute{e}\,oppos\acute{e}\,\grave{a}\,}\widehat{\mathrm{A}}}{\mathrm{longueur\,du\,cot\acute{e}\,adjacent\,\grave{a}}}
• En appliquant ces définitions à l'angle \widehat{\mathrm{A}} de la figure ci-dessus, on obtient :
\sin \widehat {\mathrm{A}} = \frac{\mathrm{BC}} {\mathrm{AC}} ; \cos \widehat{\mathrm{A}} = \frac {\mathrm{AB}} {\mathrm{AC}} ; \tan \widehat{\mathrm{A}} = \frac{\mathrm{BC}} {\mathrm{AB}}
Attention, pour calculer chacun de ces rapports, il faut exprimer les deux longueurs dans la même unité.
b) Propriétés
• Appliquons les définitions précédentes à l'autre angle aigu du triangle de la figure, à savoir \widehat{\mathrm{C}}.
On obtient : \sin \widehat {\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{AB}} {\mathrm{AC}} ; \cos \widehat{\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{BC}} {\mathrm{AC}} ; \tan \widehat{\mathrm{C}} = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}
On constate que : \sin \widehat {\mathrm{A}} = \cos \widehat{\mathrm{C}} ; \cos \widehat{\mathrm{A}} = \sin \widehat {\mathrm{C}} ; \tan \widehat{\mathrm{A}} = \frac {1}{\tan \widehat {\mathrm{C}}}.
• Puisque les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires, on peut énoncer la propriété suivante : si deux angles (non nuls) sont complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de l'autre et la tangente de l'un est égale à l'inverse de la tangente de l'autre.
Par exemple, sin 67° = cos 23° car un angle de 67° et un angle de 23° sont complémentaires.
Test n°1Test n°2Test n°3Test n°4Test n°5Test n°6
2. Exemples de calcul
a) Calcul de la longueur d'un côté
• Il s'agit de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, connaissant la longueur d'un autre côté et la mesure d'un de ses angles aigus. Il suffit pour cela de caractériser le côté connu et le côté inconnu par rapport à l'angle dont la mesure est connue. On saura ainsi quel rapport trigonométrique on doit utiliser : le sinus, le cosinus ou la tangente.
• Soit IJK un triangle rectangle en I tel que IK = 3 cm et \widehat{\mathrm{J}}=26°. On veut calculer KJ à 0,01 cm près.
On connaît IK qui est la longueur du côté opposé à \widehat{\mathrm{J}}, et on cherche KJ qui est la longueur de l'hypoténuse du triangle ; on va donc utiliser le sinus de l'angle \widehat{\mathrm{J}}. En effet, dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal au rapport \frac{\mathrm{cot\acute{e}\, oppos\acute{e}}} {\mathrm{hypot\acute{e}nuse}}.
On écrit : \sin \widehat{\mathrm{J}} = \frac {\mathrm{IK}} {\mathrm{KJ}}, soit \sin 26°= \frac {3} {\mathrm{KJ}}, et on en déduit que \mathrm {KJ} = \frac {3} {\sin 26°}. D'où : \mathrm {KJ} \approx 6,84\, \mathrm{cm}.
b) Calcul de la mesure d'un angle
• Il s'agit de calculer la mesure d'un angle d'un triangle rectangle, connaissant les longueurs de deux de ses côtés. Il suffit pour cela de caractériser les deux côtés connus par rapport à l'angle dont la mesure est à calculer ; on saura ainsi quel rapport trigonométrique on doit utiliser (le sinus, le cosinus ou la tangente).
• Soit NRV un triangle rectangle en R tel que RV = 7 m et NV = 9 m. On veut calculer la mesure de l'angle \widehat {\mathrm{V}} arrondie à 0,1° près.
RV est la longueur du côté adjacent à l'angle \widehat {\mathrm{V}} et NV est la longueur de l'hypoténuse du triangle ; on va donc utiliser le cosinus de l'angle \widehat{\mathrm{V}}. En effet, dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport \frac {\mathrm{cot\acute{e}\,adjacent}} {\mathrm {hypot\acute{e}nuse}}
On écrit \cos \widehat{\mathrm{V}} = \frac{\mathrm{RV}} {\mathrm{NV}}, soit \cos \widehat{\mathrm{V}} = \frac{7} {9} et on en déduit que \widehat{\mathrm{V}}\approx38,9°.
------------------------------------------------------------
copyright © 2006-2018, rue des écoles