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Préparation aux épreuves
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Autour de la fonction publique
C'est en recherchant des fonctions dérivables sur
dont la dérivée est proportionnelle à la fonction que l'on est conduit à l'étude de la fonction exponentielle. Celle-ci joue un rôle capital en mathématiques, en particulier dans la résolution des équations différentielles. Elle intervient aussi dans de nombreuses lois de probabilité.

1. Quelles sont les trois manières de définir la fonction exponentielle ?
• La fonction exponentielle de base e est la réciproque de la fonction logarithme népérien.
• La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur
vérifiant les deux conditions suivantes : 


• Enfin, la fonction exponentielle peut être définie par une équation fonctionnelle.
Il existe en effet une seule fonction f dérivable sur
telle que, pour tous réels a et b, f(a + b) = f(a) × f(b) et f(0) = 1. Il s'agit de la fonction exponentielle.
Il existe en effet une seule fonction f dérivable sur

2. Quelles sont les propriétés analytiques de la fonction exponentielle ?
• La fonction exponentielle étant la réciproque de la fonction logarithme népérien, ses propriétés peuvent se déduire de celles de la fonction logarithme.
• On peut également retrouver ses propriétés en mémorisant l'allure de sa courbe représentative.
Ainsi :
– la fonction exponentielle est définie, dérivable, strictement croissante sur
;
– la limite de la fonction exponentielle lorsque x tend vers
est
;
– la limite de la fonction exponentielle lorsque x tend vers
est 0 ;
– la fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée ;
– si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction
est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction 
Test n°1Test n°2
– la fonction exponentielle est définie, dérivable, strictement croissante sur

– la limite de la fonction exponentielle lorsque x tend vers


– la limite de la fonction exponentielle lorsque x tend vers

– la fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée ;
– si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction


Test n°1Test n°2
3. Quelles sont les propriétés algébriques de la fonction exponentielle ?
4. Que faut-il savoir sur les fonctions exponentielles de base a ?
• La fonction exponentielle permet de définir la puissance réelle d'un nombre a strictement positif : pour tout réel strictement positif a et pour tout réel b, ab = eb ln a.
Cette formule sert notamment à étudier les fonctions du type f(x) = ax, où a est un réel strictement positif, appelées fonctions exponentielles de base a.
On écrit alors f(x) sous la forme
et on est ramené à une étude de fonction classique.
Cette formule sert notamment à étudier les fonctions du type f(x) = ax, où a est un réel strictement positif, appelées fonctions exponentielles de base a.
On écrit alors f(x) sous la forme

• On retiendra les formules qui suivent. Pour tous réels x et y, et pour tout entier a > 0 : 

À retenir
• La fonction exponentielle de base e est la réciproque de la fonction logarithme népérien. Elle est égale à sa propre dérivée.
• L'allure de sa courbe représentative permet de se souvenir que :
– les représentations graphiques de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x ;
– la fonction exponentielle est strictement croissante et positive sur
;
–
;
–
– les représentations graphiques de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x ;
– la fonction exponentielle est strictement croissante et positive sur

–

–

• La fonction exponentielle permet de définir la puissance réelle d'un nombre a strictement positif : ainsi, pour tout réel b, ab = eb ln a.