Fonction exponentielle

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C'est en recherchant des fonctions dérivables sur Ensemble R dont la dérivée est proportionnelle à la fonction que l'on est conduit à l'étude de la fonction exponentielle. Celle-ci joue un rôle capital en mathématiques, en particulier dans la résolution des équations différentielles. Elle intervient aussi dans de nombreuses lois de probabilité.
1. Quelles sont les trois manières de définir la fonction exponentielle ?
• La fonction exponentielle de base e est la réciproque de la fonction logarithme népérien.
• La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur Ensemble R vérifiant les deux conditions suivantes : \begin{cases} \mathrm{pour\,tout\,r\acute{e}el}\,x, \mathrm{exp}^\prime(x)=\mathrm{exp}(x) \tabularnewline \mathrm{exp}(0)=1 \end{cases}.
• Enfin, la fonction exponentielle peut être définie par une équation fonctionnelle.
Il existe en effet une seule fonction f dérivable sur Ensemble R telle que, pour tous réels a et b, f(a + b) = f(a) × f(b) et f(0) = 1. Il s'agit de la fonction exponentielle.
2. Quelles sont les propriétés analytiques de la fonction exponentielle ?
• La fonction exponentielle étant la réciproque de la fonction logarithme népérien, ses propriétés peuvent se déduire de celles de la fonction logarithme.
• On peut également retrouver ses propriétés en mémorisant l'allure de sa courbe représentative.
Ainsi :
– la fonction exponentielle est définie, dérivable, strictement croissante sur Ensemble R ;
– la limite de la fonction exponentielle lorsque x tend vers +\infty est +\infty ;
– la limite de la fonction exponentielle lorsque x tend vers -\infty est 0 ;
– la fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée ;
– si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction \mathrm{e}^{u} est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction  u^\prime{\mathrm{e}^{u}}.
Test n°1Test n°2
3. Quelles sont les propriétés algébriques de la fonction exponentielle ?
On retiendra les propriétés algébriques suivantes :
– pour tout réel a,\,\mathrm{exp(a)}>0 ;
– pour tout réel a,\,\mathrm{exp(-a)}=\frac{1}{\mathrm{exp(a)}} ;
– pour tous réels a et b, \mathrm{exp(a+b)=exp(a)\times{exp(b)}} ;
– pour tous réels a et b, \mathrm{exp}(a-b)=\frac{\mathrm{exp}(a)}{\mathrm{exp}(b)} ;
– pour tout réel a et pour tout entier relatif p,\,\mathrm{exp}(pa)=(\mathrm{exp}(a))^{p}.
On peut utiliser de manière indifférente la notation \mathrm{exp}(a) ou la notation \mathrm{e}^{a}.
Test n°3Test n°4
4. Que faut-il savoir sur les fonctions exponentielles de base a ?
• La fonction exponentielle permet de définir la puissance réelle d'un nombre a strictement positif : pour tout réel strictement positif a et pour tout réel b, ab = eb ln a.
Cette formule sert notamment à étudier les fonctions du type f(x) = ax, où a est un réel strictement positif, appelées fonctions exponentielles de base a.
On écrit alors f(x) sous la forme f(x)=\mathrm{e}^{{x}\,\mathrm{ln}\,a} et on est ramené à une étude de fonction classique.
• On retiendra les formules qui suivent. Pour tous réels x et y, et pour tout entier a > 0 : a^{x}\times{a^{y}}=a^{x+y}\,;\,\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}\,;\,(a^{x})^{y}=a^{xy}.
À retenir
• La fonction exponentielle de base e est la réciproque de la fonction logarithme népérien. Elle est égale à sa propre dérivée.
• L'allure de sa courbe représentative permet de se souvenir que :
– les représentations graphiques de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x ;
– la fonction exponentielle est strictement croissante et positive sur Ensemble R ;
–  \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty} \mathrm{e}^{x}=0^{+} ;
–  \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty} \mathrm{e}^{x}=+{\infty}.
• La fonction exponentielle permet de définir la puissance réelle d'un nombre a strictement positif : ainsi, pour tout réel b, ab = eb ln a.
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