Fonction exponentielle

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Fiche
Tests
La fonction f est définie pour x\neq −1 par f(x) = \frac {1} {2} x + \frac {e^x} {x+1}.
Soit (C) sa courbe représentative.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty
(C) admet pour tangente au point d'abscisse 0 la droite d'équation y\,=\,\frac {1} {2}x.
La droite d'équation y=\frac {1} {2}x est asymptote à la courbe (C) au voisinage de +\infty.
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Commentaire
\lim_{x\rightarrow -\infty} \left(\frac{1}{2}x\right)=-\infty
\left \lbrace \begin{array}{ll} \mathop {\lim}\limits_{x \to -\infty }\,\mathrm{e}^{x}=\,0 \qquad & \mathop {\lim}\limits_{x \to -\infty }\,\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}=0 \tabularnewline \mathop {\lim}\limits_{x \to -\infty }\,(x+1)=-\infty & \end{array} \right.
donc \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty.
• Attention, la tangente en x0 = 0 a pour équation y=\frac {1} {2}x +1.
La droite d'équation y=\frac {1} {2}x est asymptote à (C) au voisinage de -\infty.
En effet, \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x+1}=+\infty.
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