Fonction logarithme

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Tests
Le logarithme népérien, comme son nom l'indique, doit son existence au mathématicien écossais John Neper (1550-1617), qui cherchait à simplifier les calculs trigonométriques des astronomes en « transformant les produits en sommes ».
De nos jours, la fonction logarithme ne sert plus seulement à simplifier les calculs ;  elle tient une place importante dans de nombreux problèmes d'analyse et son étude constitue un chapitre essentiel du programme de terminale.
1. Quelles sont les trois manières de définir la fonction logarithme népérien ?
Comme pour la fonction exponentielle, il existe trois manières principales de définir la fonction logarithme népérien :
• La fonction logarithme népérien peut être définie à partir de la fonction exponentielle.
Il existe en effet, pour tout réel a strictement positif, un unique réel x tel que ex = a. Ce nombre s'appelle le logarithme népérien de a et on le note x = ln a.
• La fonction inverse étant continue sur ]0 ; +\infty[, elle admet des primitives sur cet intervalle. La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse, sur ]0 ; +\infty[, qui prend la valeur 0 en 1.
• Enfin, on peut définir la fonction logarithme népérien à partir de son équation fonctionnelle caractéristique.
Les fonctions f définies sur ]0 ; +\infty[ telles que, pour tous réels x et y,
f(xy) = f(x) + f(y), sont les fonctions k ln, où k désigne une constante réelle.
Test n°1
2. Quelles sont les propriétés analytiques de la fonction logarithme népérien ?
L'allure de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien permet de retrouver les propriétés suivantes :
– ln x existe si et seulement si x est strictement positif ; 
– ln 1 = 0 et ln e = 1 ;
– ln x < 0 si et seulement si 0 < x < 1 ; 
– la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +\infty[ ; 
– la limite de ln x quand x tend vers 0 (par valeurs supérieures) est −\infty ; 
– la limite de ln x quand x tend vers +\infty est +\infty ; 
– la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +\infty[ et sa dérivée est la fonction x\,\mapsto\,{\frac{1}{x}} ; 
– si u est une fonction dérivable et qu'elle est strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln \circ u est dérivable sur I et sa dérivée est \frac{u^\prime}{u}.
Remarque
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
Test n°2
3. Quelles sont les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien ?
• Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout rationnel z : \mathrm{ln}(ab)=\mathrm{ln}\,a+\mathrm{ln}\,b ; \mathrm{ln}\,\frac{a}{b}=\mathrm{ln}\,a-\mathrm{ln}\,b ; \mathrm{ln}\,\frac{1}{a}=-\,\mathrm{ln}\,a ; \mathrm{ln}\,a^{z}={z}\mathrm{ln}\,a.
Cette dernière formule admet un cas particulier très utile : \mathrm{ln}\sqrt{a}=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,a.
• Les propriétés algébriques de la fonction logarithme jouent un rôle essentiel dans la simplification des calculs. Elles permettent notamment de résoudre certaines inéquations où l'inconnue figure en exposant.
Test n°3
4. Qu'appelle-t-on croissance comparée ?
• La comparaison des croissances respectives de ex, xn et ln x permet de lever certaines indéterminations qui peuvent se présenter lors du calcul de limites.
• Pour cela, on se ramène aux formules ci-dessous, soit en effectuant un changement de variable, soit en factorisant le terme dominant.
Pour tout entier naturel n > 0 :
\mathop {\lim}\limits_{x \to +{\infty} }\,\frac{\mathrm{ln}\,x}{x^{n}}=0\quad;\quad\mathop {\lim}\limits_{x \to +{\infty} }\,\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{n}}=+\infty\,; \mathop {\lim}\limits_{x \to +{0} }\,x^{n}\,\mathrm{ln}\,x=0 \quad ; \quad \mathop {\lim}\limits_{x \to -{\infty} }\,x^{n}\,\mathrm{e}^{x}=0.
Une représentation graphique illustre la croissance comparée de ex, xn et ln x.
Test n°4
À retenir
• La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse qui prend la valeur 0 en 1. Elle est définie sur ]0\,;\,+{\infty}[ et strictement croissante sur cet intervalle.
\mathop {\lim}\limits_{x \to 0{+} }\,\mathrm{\ln}\,x=-{\infty} ;  l'axe des ordonnées est donc une asymptote verticale de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. \mathop {\lim}\limits_{x \to +{\infty} }\,\mathrm{ln}\,x=+\infty.
• Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout rationnel z : \mathrm{ln}(ab)=\mathrm{ln}\,a+\mathrm{ln}\,b\,;\,\mathrm{ln}\,\frac{a}{b}=\mathrm{ln}\,a-\mathrm{ln}\,b\,;\,\mathrm{ln}\,a^{z}=z\,\mathrm{ln}\,a.
• On retiendra les règles opératoires suivantes :
– à l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x ;
– à l'infini, les puissances de x l'emportent sur les logarithmes de x.
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