Fonction logarithme

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Fiche
Tests
Soit f la fonction définie par f(x)=\frac{1}{x(1+\mathrm{ln}\,x)}.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
f'(1) = −2
f est définie sur ]0\,;\,+\infty[.
f présente un minimum en \frac{1}{e^{2}}.
Score : .. /20
Commentaire
• La fonction f est définie pour tout réel x tel que :
\begin{cases}x>0\tabularnewline {x}(1+\mathrm{ln}\,x)\neq0 \end{cases}\,\mathrm{soit}\begin{cases}x>0\tabularnewline {x}\neq\frac{1}{e} \end{cases}.
Donc f est définie sur \left]0\,;\,\frac{1}{e}\right[\cup\left]\frac{1}{e}\,;\,+\infty\right[.
Elle est dérivable sur \left]0\,;\,\frac{1}{e}\right[\cup\left]\frac{1}{e}\,;\,+\infty\right[.
On a alors : f'(x)=-\frac{(1+\mathrm{ln}x)+x(\frac{1}{x})}{x^2(1+\mathrm{ln}x)^{2}}=-\frac{2+\mathrm{ln}x}{x^{2}(1+\mathrm{ln}x)^{2}}
donc f'(1)=\frac{-2}{1}=-2.
• Les autres propositions sont fausses.
f n'est pas définie en \frac{1}{e}, donc elle n'est pas définie sur ]0\,;\,+\infty[.
f'(x)=0\Leftrightarrow2+\mathrm{ln}\,x=0\Leftrightarrow{x}=e^{-2}.
f présente un maximum en e^{-2} et non un minimum en \frac{1}{e^{2}}.
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