Intégration et dérivation

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Tests
Le calcul intégral intervient dans un nombre très important de problèmes : calculs d'aires et de volumes, calcul de l'intensité efficace d'un courant, calcul du coût total à partir du coût marginal… C'est donc un outil précieux dans de nombreux domaines scientifiques, tels la géométrie, la physique, l'économie…
1. Comment calculer une intégrale  ?
• Avant tout calcul, on s'assure que l'intégrale existe, ce qui est toujours le cas lorsque la fonction à intégrer est continue.
• On cherche ensuite si la fonction f à intégrer est, à une éventuelle constante près, la dérivée d'une fonction F connue. La fonction F est alors une primitive de la fonction f.
Pour cela, on peut s'aider du tableau donné dans le formulaire du baccalauréat.
Si f(x) = …
alors F(x) = …
sur l'ensemble …
a (constante)
ax
Ensemble R
x^{n}(n\,{\in}\mathbb{N})
\frac{x^{n+1}}{n+1}
Ensemble R
-\frac{1}{x^{2}}
\frac{1}{x}
]0 ; +\infty[ ou ]−\infty ; 0[
\frac{1}{\sqrt{x}}
2{\sqrt{x}}
]0 ; +\infty[
\frac{1}{x}
\ln\,{x}
]0 ; +\infty[
e^{x}
e^{x}
Ensemble R
\sin\,x
-\cos\,x
Ensemble R
\cos\,x
\sin\,x
Ensemble R
1+\tan^{2}\,{x}
\tan\,{x}
]-\frac{\pi}{2}+k{\pi}\,;\,\frac{\pi}{2}+k{\pi}[\quad{k}{\in}\mathbb{Z}

Il convient notamment de mémoriser les formules donnant les primitives d'une somme, du produit d'une fonction par un réel, du quotient \frac{u^\prime}{u}, des expressions du type u^{\prime}\times{u^{\alpha}} (où \alpha est distinct de −1) et u' × eu.
On peut ensuite en déduire toutes les autres formules, à l'aide des égalités :
\sqrt{u}=u^{1/2}(u\,>\,0) et u^{-\alpha}=\frac{1}{u^{\alpha}}(u\neq{0}).
• Enfin, il ne reste plus qu'à appliquer la formule :
\int^{b}_{a}\,f(x)\,{\mathrm{d}}x=F(b)-F(a).
Test n°1Test n°2
2. Quel est le lien entre le calcul intégral et les aires  ?
• Si la fonction f est continue et positive sur l'intervalle [a ; b], l'intégrale \int^{b}_{a}\,f(t)\,{\mathrm{d}}t est égale à l'aire (exprimée en unité d'aire) de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, les droites d'équations x = a et x = b et la courbe représentative de f. Cette intégrale correspond à « l'aire sous la courbe ».
• Si la fonction f est continue et négative sur l'intervalle [a ; b], alors cette même aire est égale à -\int^{b}_{a}\,f(t)\,{\mathrm{d}}t.
• Si la fonction f ne garde pas un signe constant sur l'intervalle [a ; b], on décompose [a ; b] en intervalles sur lesquels f garde un signe constant.
Test n°3
3. Une intégrale peut-elle être négative  ?
• Comme la notion d'intégrale est liée à celle d'aire, beaucoup d'élèves pensent, à tort, qu'une intégrale ne peut pas être négative. Or, c'est précisément le cas lorsqu'on intègre une fonction négative et que la borne inférieure de l'intégrale est plus petite que la borne supérieure.
Si f\leq{0} sur [a ; b] avec a < b, alors \int^{b}_{a}\,f(t)\,{\mathrm{d}}t\leq{0}.
Par exemple : \int^{3}_{1}\,(-2x)\,{\mathrm{d}}x=-8.
• C'est également le cas lorsque l'on intègre une fonction positive et que la borne inférieure de l'intégrale est plus grande que la borne supérieure.
Si f\geq{0} sur [a ; b] avec a > b, alors \int^{b}_{a}\,f(t)\,{\mathrm{d}}t\leq{0}.
Par exemple : \int^{1}_{3}\,{2x}\,{\mathrm{d}}x=-8.
4. Comment intégrer par parties  ?
Le choix de la technique d'intégration par parties se rencontre souvent (mais pas nécessairement) lorsque la fonction à intégrer se présente sous la forme d'un produit. Dans la plupart des cas, l'énoncé du problème précise qu'on doit intégrer par parties.
On utilise alors la formule : \int^{b}_{a}\,{u^\prime}(x)v(x)\,{\mathrm{d}}x=\left[u(x)v(x)\right]^{b}_{a}-\int^{b}_{a}\,u(x){v^\prime}(x)\,{\mathrm{d}}x, avec u et v deux fonctions dérivables sur [a ; b] et u' et v' deux fonctions continues sur [a ; b].
Remarque
Dans certains cas, on peut être conduit à effectuer deux intégrations par parties successives mais cela sera toujours précisé dans un sujet de baccalauréat.
Test n°4
À retenir
• Lorsqu'une fonction f est continue et positive sur un intervalle [a ; b], l'intégrale \int^{b}_{a}\,f(t)\,{\mathrm{d}}t correspond à « l'aire sous la courbe » ;  elle est égale à l'aire de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, les droites d'équations x = a et x = b et la courbe de f.
• Si f est négative sur l'intervalle [a ; b], alors l'aire est égale à :
-\int^{b}_{a}\,f(t)\,{\mathrm{d}}t.
• La formule d'intégration par parties sert à remplacer une intégrale que l'on ne sait pas calculer par une autre intégrale dont le calcul est plus simple. Elle s'utilise en particulier lorsque l'expression à intégrer se présente sous la forme d'un produit.
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