Limites

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Tests

Déterminer des limites éventuelles d'une fonction $f\,:\,x\mapsto{f(x)}$ n'a d'intérêt que lorsque x tend vers une borne ouverte de l'ensemble de définition D_f de f.
Cette condition étant remplie, cela permet de connaître le comportement de f pour des valeurs de x proches de ces bornes ouvertes de D_f. C'est ainsi que l'on peut mettre en évidence la présence éventuelle d'asymptotes verticales, horizontales ou obliques à la courbe de f.

Dans le développement qui suit :
α désigne soit + $\infty$ soit − $\infty$ , soit un réel a,
$\infty$ désigne + $\infty$ ou − $\infty$

1. Qu'est-ce que la limite d'une fonction en α ou d'une suite en + $\infty$ ?

• Soit f une fonction définie au voisinage de α.
– La limite de f en α est + $\infty$ et on note $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=+\infty$ , si tout intervalle de la forme $]\mathrm{M}\,;+\infty[$ , où $\mathrm{M}\,\in\,\mathbb{R}$ , contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de α.

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– La limite de f en α est − $\infty$ et on note $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=-\infty$ , si tout intervalle de la forme $]-\infty\,;\mathrm{M}[$ , où $\mathrm{M}\,\in$ Ensemble R

, contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de α.
– La limite de f en α est le réel l et on note $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=l$ , si tout intervalle de la forme ]l − r ; l + r[, où r > 0, contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de α.

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• On adapte ces définitions aux suites mais on a alors $\alpha=+\infty$ et, dans le cas d'une suite (U_n), on écrit :
$\mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,U_{n}=+{\infty}$ ou $\mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,U_{n}=-{\infty}$ ou $\mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,U_{n}=l.$

2. En quoi consistent les théorèmes d'opération sur les limites ?

On désigne par l et l' deux réels et par f et g deux fonctions définies au voisinage de α.
Dans les tableaux suivants, « ? » signifie que l'on ne peut pas conclure directement : il s'agit d'une « forme indéterminée » (voir le paragraphe 3).

• Limite d'une somme

Si, en α, f a pour limite :	l	l	l	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$
si, en α, g a pour limite :	l'	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
alors, en α, f + g a pour limite :	l + l'	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	?	$-\infty$

• Limite d'un produit

Si, en α, f a pour limite :	l	$l\neq{0}$	$l\neq{0}$	0	+ $\infty$	+ $\infty$	− $\infty$
si, en α, g a pour limite :	l'	+ $\infty$	− $\infty$	$\begin{matrix} +\infty\tabularnewline \mathrm{ou}-\infty \end{matrix}$	+ $\infty$	− $\infty$	− $\infty$
alors, en α, f × g a pour limite :	ll'	$\begin{matrix} \mathrm{si}\,l>0,+\infty\tabularnewline \mathrm{si}\,l<0,-\infty \end{matrix}$	$\begin{matrix} \mathrm{si}\,l>0,-\infty\tabularnewline \mathrm{si}\,l<0,+\infty \end{matrix}$	?	+ $\infty$	− $\infty$	+ $\infty$

• Limite d'un quotient

Si, en $\alpha,\,g$ a pour limite :	$l\neq{0}$	0	$+\infty\,\mathrm{ou}-\infty$
alors, en $\alpha,\frac{1}{g}$ a pour limite :	$\frac{1}{l}$	$\begin{matrix}\mathrm{en}\,0^{+},\,+\infty\tabularnewline \mathrm{en}\,0^{-},-\infty \end{matrix}$	0

Et on se ramène au cas précédent pour $\frac{f}{g}\,\mathrm{car}\,\frac{f}{g}=f\times{\frac{1}{g}}.$

• Limite d'une fonction composée
Si $\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3}$ désignent $+\infty$ ou $-\infty$ ou des nombres réels et si u et v désignent deux fonctions telles que : $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{1}} }\,u(x)=\alpha_{2}$ et $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{2}} }\,v(x)=\alpha_{3},$ alors $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{1}} }\,v\,o\,u(x)=\alpha_{3}.$
Test n°1

3. Que faire face à une « forme indéterminée » ?

• Les « ? » du paragraphe précédent signifient que l'on ne peut pas conclure directement : on est en présence d'une « forme indéterminée » , donc devant une limite de la forme $\ll\,(+\infty)-(+\infty)\,\gg,\ll{0}\times{\infty}\,\gg,\ll\frac{\infty}{\infty}\,\gg\,\mathrm{ou}\,\ll{\frac{0}{0}}\gg.$

• Pour « lever » cette indétermination, il faut transformer l'écriture de la fonction, soit en factorisant par le terme dominant (cas des fonctions polynômes et rationnelles quand $\alpha=+\infty$ ou $\alpha=-\infty$ ), soit en utilisant la quantité conjuguée (cas des fonctions racines carrées), soit en revenant à la définition du nombre dérivé (cas des fonctions étant sous la forme d'un taux d'accroissement).
Test n°2 Test n°3

4. Qu'appelle-t-on les théorèmes de limite par comparaison ?

On peut déterminer des limites de suites ou de fonctions par comparaison avec des fonctions connues, en utilisant les théorèmes cités ci-dessous.

• Soit f, g et h, trois fonctions définies au voisinage de α et l un réel :
– si, au voisinage de α, $f(x)\geq{g(x)}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=+\infty,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=+\infty$ ;
– si, au voisinage de α, $f(x)\geq{g(x)}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,g(x)=-\infty,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,g(x)=-\infty$ ;
– si, au voisinage de α, $g(x)\leq{f(x)}\leq{h(x)}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,g(x)=\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,h(x)=l,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=l$ (théorème des gendarmes).

• Toute suite croissante (respectivement décroissante), non majorée (respectivement non minorée) a pour limite + $\infty$ (respectivement − $\infty$ ).
Toute suite croissante et majorée (respectivement décroissante et minorée) est convergente, c'est-à-dire admet une limite finie.
Test n°4

5. Comment détermine-t-on la présence d'asymptotes à la courbe d'une fonction ?

• Si $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=\infty$ , où $a\,\in\,\mathbb{R}$ , alors la courbe de f admet une asymptote verticale d'équation x = a.

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• Si $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=b$ , où $b\,\in\,\mathbb{R}$ , alors la courbe de f admet une asymptote horizontale d'équation y = b, en $\infty$ .

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• Si $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)-(mx+p)=0$ , où $m\,\in\,\mathbb{R}^{*}$ et $p\,\in\,\mathbb{R}$ , alors la courbe de f admet une asymptote oblique d'équation y = mx + p, en $\infty$ .
Test n°5 Test n°6

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À retenir

• $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=+\infty$ , si tout intervalle de la forme $]\mathrm{M}\,;+\infty[$ , où $\mathrm{M}\,\in\,\mathbb{R}$ , contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de α.

• $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=-\infty$ , si tout intervalle de la forme $]\,-\infty\,;\mathrm{M}[$ , où $\mathrm{M}\,\in\,\mathbb{R}$ , contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de α.

• Il existe quatre formes pour lesquelles la détermination de la limite est impossible : formes $\ll\,(+\infty)-(+\infty)\,\gg,\ll{0}\times{\infty}\gg$ $\ll{\frac{0}{0}}\gg$ ou $\ll\frac{\infty}{\infty}\,\gg$ .

• Si deux fonctions f et h encadrent une troisième fonction g sur un intervalle et si les fonctions f et h ont la même limite à l'infini ou en un point donné, alors g a la même limite que les deux fonctions qui l'encadrent.

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