Limites

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Tests
Déterminer des limites éventuelles d'une fonction f\,:\,x\mapsto{f(x)} n'a d'intérêt que lorsque x tend vers une borne ouverte de l'ensemble de définition Df de f.
Cette condition étant remplie, cela permet de connaître le comportement de f pour des valeurs de x proches de ces bornes ouvertes de Df. C'est ainsi que l'on peut mettre en évidence la présence éventuelle d'asymptotes verticales, horizontales ou obliques à la courbe de f.
Dans le développement qui suit :
α désigne soit +\infty soit −\infty, soit un réel a,
\infty désigne +\infty ou −\infty
1. Qu'est-ce que la limite d'une fonction en α ou d'une suite en +\infty ?
• Soit f une fonction définie au voisinage de α.
– La limite de f en α est +\infty et on note \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=+\infty, si tout intervalle de la forme ]\mathrm{M}\,;+\infty[, où \mathrm{M}\,\in\,\mathbb{R}, contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de α.
– La limite de f en α est \infty et on note \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=-\infty, si tout intervalle de la forme ]-\infty\,;\mathrm{M}[, où \mathrm{M}\,\inEnsemble R, contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de α.
– La limite de f en α est le réel l et on note \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=l, si tout intervalle de la forme ]l − r ;  l + r[, où r > 0, contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de α.
• On adapte ces définitions aux suites mais on a alors \alpha=+\infty et, dans le cas d'une suite (Un), on écrit :
\mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,U_{n}=+{\infty} ou \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,U_{n}=-{\infty} ou \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,U_{n}=l.
2. En quoi consistent les théorèmes d'opération sur les limites ?
On désigne par l et l' deux réels et par f et g deux fonctions définies au voisinage de α.
Dans les tableaux suivants, « ? »  signifie que l'on ne peut pas conclure directement : il s'agit d'une « forme indéterminée »  (voir le paragraphe 3).
• Limite d'une somme
Si, en α, f a pour limite :
l
l
l
+\infty
+\infty
-\infty
si, en α, g a pour limite :
l'
+\infty
-\infty
+\infty
-\infty
-\infty
alors, en α, f + g a pour limite :
l + l'
+\infty
-\infty
+\infty
?
-\infty

• Limite d'un produit
Si, en α, f a pour limite :
l
l\neq{0}
l\neq{0}
0
+\infty
+\infty
\infty
si, en α, g a pour limite :
l'
+\infty
\infty
\begin{matrix} +\infty\tabularnewline \mathrm{ou}-\infty \end{matrix}
+\infty
\infty
\infty
alors, en α, f × g a pour limite :
ll'
\begin{matrix} \mathrm{si}\,l>0,+\infty\tabularnewline \mathrm{si}\,l<0,-\infty \end{matrix}
\begin{matrix} \mathrm{si}\,l>0,-\infty\tabularnewline \mathrm{si}\,l<0,+\infty \end{matrix}
?
+\infty
\infty
+\infty

• Limite d'un quotient
Si, en \alpha,\,g a pour limite :
l\neq{0}
0
+\infty\,\mathrm{ou}-\infty
alors, en \alpha,\frac{1}{g} a pour limite :
\frac{1}{l}
\begin{matrix}\mathrm{en}\,0^{+},\,+\infty\tabularnewline \mathrm{en}\,0^{-},-\infty \end{matrix}
0

Et on se ramène au cas précédent pour \frac{f}{g}\,\mathrm{car}\,\frac{f}{g}=f\times{\frac{1}{g}}.
• Limite d'une fonction composée
Si \alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3} désignent +\infty ou -\infty ou des nombres réels et si u et v désignent deux fonctions telles que : \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{1}} }\,u(x)=\alpha_{2} et \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{2}} }\,v(x)=\alpha_{3}, alors \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{1}} }\,v\,o\,u(x)=\alpha_{3}.
Test n°1
3. Que faire face à une « forme indéterminée » ?
• Les « ? »  du paragraphe précédent signifient que l'on ne peut pas conclure directement : on est en présence d'une « forme indéterminée » , donc devant une limite de la forme \ll\,(+\infty)-(+\infty)\,\gg,\ll{0}\times{\infty}\,\gg,\ll\frac{\infty}{\infty}\,\gg\,\mathrm{ou}\,\ll{\frac{0}{0}}\gg.
• Pour « lever »  cette indétermination, il faut transformer l'écriture de la fonction, soit en factorisant par le terme dominant (cas des fonctions polynômes et rationnelles quand \alpha=+\infty ou \alpha=-\infty), soit en utilisant la quantité conjuguée (cas des fonctions racines carrées), soit en revenant à la définition du nombre dérivé (cas des fonctions étant sous la forme d'un taux d'accroissement).
Test n°2Test n°3
4. Qu'appelle-t-on les théorèmes de limite par comparaison ?
On peut déterminer des limites de suites ou de fonctions par comparaison avec des fonctions connues, en utilisant les théorèmes cités ci-dessous.
• Soit f, g et h, trois fonctions définies au voisinage de α et l un réel :
– si, au voisinage de α, f(x)\geq{g(x)}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=+\infty,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=+\infty ;
– si, au voisinage de α, f(x)\geq{g(x)}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,g(x)=-\infty,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,g(x)=-\infty ;
– si, au voisinage de α, g(x)\leq{f(x)}\leq{h(x)}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,g(x)=\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,h(x)=l,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=l (théorème des gendarmes).
• Toute suite croissante (respectivement décroissante), non majorée (respectivement non minorée) a pour limite +\infty (respectivement −\infty).
Toute suite croissante et majorée (respectivement décroissante et minorée) est convergente, c'est-à-dire admet une limite finie.
Test n°4
5. Comment détermine-t-on la présence d'asymptotes à la courbe d'une fonction ?
• Si \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=\infty, où a\,\in\,\mathbb{R}, alors la courbe de f admet une asymptote verticale d'équation x = a.
• Si \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=b, où b\,\in\,\mathbb{R}, alors la courbe de f admet une asymptote horizontale d'équation y = b, en \infty.
• Si \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)-(mx+p)=0, où m\,\in\,\mathbb{R}^{*} et p\,\in\,\mathbb{R}, alors la courbe de f admet une asymptote oblique d'équation y = mx + p, en \infty.
Test n°5Test n°6
À retenir
\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=+\infty, si tout intervalle de la forme ]\mathrm{M}\,;+\infty[, où \mathrm{M}\,\in\,\mathbb{R}, contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de α.
\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha} }\,f(x)=-\infty, si tout intervalle de la forme ]\,-\infty\,;\mathrm{M}[, où \mathrm{M}\,\in\,\mathbb{R}, contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de α.
• Il existe quatre formes pour lesquelles la détermination de la limite est impossible : formes \ll\,(+\infty)-(+\infty)\,\gg,\ll{0}\times{\infty}\gg \ll{\frac{0}{0}}\gg ou \ll\frac{\infty}{\infty}\,\gg.
• Si deux fonctions f et h encadrent une troisième fonction g sur un intervalle et si les fonctions f et h ont la même limite à l'infini ou en un point donné, alors g a la même limite que les deux fonctions qui l'encadrent.
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