Limites

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Fiche
Tests
Soit j la fonction définie par j(x) = sin x + x.
Que peut-on dire de la limite de j en -\infty ?
Cochez la bonne réponse.
j n'a pas de limite en -\infty
\mathop {\lim}\limits_{x \to -\infty }\,j(x)=-1
\mathop {\lim}\limits_{x \to -\infty }\,j(x)=-\infty
Score : .. /20
Commentaire
On peut déterminer la limite de j en -\infty selon deux méthodes :
Première méthode :
x\mapsto \sin x n'a pas de limite en -\infty.
Mais, pour tout x \in Ensemble R, sin x inférieur ou égal 1 ; donc j(xinférieur ou égal 1 + x.
Or \lim_{x\rightarrow -\infty} -1+x=-\infty.
Par conséquent, d'après le théorème de minoration, \lim_{x\rightarrow -\infty} j(x) = -\infty.
Seconde méthode :
Pour tout x\neq0, j(x)=x \left(1+ \frac{\sin x}{x}\right).
Or, pour tout x \in Ensemble R, −1 inférieur ou égal sin x inférieur ou égal 1.
Donc, pour tout x < 0, \frac {1} {x} \leq \frac {\sin x} {x} \leq - \frac {1} {x}.
On a : \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac {1}{x} = \lim_{x\rightarrow -\infty} - \frac {1} {x} = 0.
Par conséquent, d'après le théorème « des gendarmes », \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac {\sin x}{x} = 0.
Et ainsi, \lim_{x\rightarrow -\infty} j(x) = \lim_{x\rightarrow -\infty}x = -\infty.
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