Limites

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Fiche
Tests
La droite d'équation y = x − 3 est asymptote oblique en +\infty à la courbe de la fonction f définie par :
Cochez la bonne réponse.
f(x)=x-3+\frac {x^2 -4} {x^3+1}
f(x)=x-3+\frac {x^2 -4} {x^2+1}
f(x)=x-3+\frac {x^2 -4} {x+1}
Score : .. /20
Commentaire
\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {x^2-4} {x+1} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {x^2 \left(1-\frac{4} {x^2}\right)} {x \left(1+\frac{1} {x}\right)}= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {x \left(1-\frac{4} {x^2}\right)} {\left(1+\frac{1} {x}\right)}=+\infty
\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {x^2-4} {x^2+1} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {x^2 \left(1-\frac{4} {x^2}\right)} {x^2 \left(1+\frac{1} {x^2}\right)}= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {1-\frac{4} {x^2}} {1+\frac{1} {x^2}}=1.
\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {x^2-4} {x^3+1} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {x^2 \left(1-\frac{4} {x^2}\right)} {x^3 \left(1+\frac{1} {x^3}\right)}= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {1-\frac{4} {x^2}} {x\left(1+\frac{1} {x^3}\right)}= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} =0.
Donc la droite d'équation y = x − 3 est asymptote oblique à la courbe de f en +\infty si \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) - (x-3) = 0, c'est-à-dire si f(x) = x-3+ \frac {x^2-4} {x^3+1}.
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