Limites

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Fiche
Tests
La courbe de la fonction h : x \mapsto \sqrt{x^2+x}-x :
Cochez la bonne réponse.
admet en +\infty une asymptote horizontale.
admet en +\infty une asymptote oblique.
n'admet pas d'asymptote en +\infty.
Score : .. /20
Commentaire
On est en présence d'une forme indéterminée de type « (+\infty) - (+\infty) » et h est une fonction comportant une racine carrée.
Donc, pour tout x > 0 : \sqrt{x^2+x}-x= \frac {(\sqrt{x^2+x}-x) (\sqrt{x^2+x}+x)} {\sqrt{x^2+x}+x} = \frac {(\sqrt{x^2+x})^2-x^2} {\sqrt{x^2+x}+x} \sqrt{x^2+x}-x= \frac {x} {\sqrt{x^2+x}+x}=\frac {x} {\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}+x} \sqrt{x^2+x}-x= \frac {x} {x\sqrt{1+\frac {1} {x}}+x} car \sqrt{x^2}=| x| =x car x > 0. \sqrt{x^2+x}-x= \frac {1} {\sqrt{1+\frac {1} {x}}+1}.
Or \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {1} {x} = 0, donc \lim_{x\rightarrow +\infty} h(x)= \frac {1} {2}.
Ainsi, la courbe de h admet en +\infty une asymptote horizontale d'équation y=\frac {1} {2}.
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