Loi de probabilité

-----------------------------------------------
icone Fiche
Tests
On s'intéresse ici aux expériences aléatoires dont les issues possibles sont des nombres. On définit pour ces expériences leur loi de probabilité et on leur associe un nombre appelé espérance mathématique. Comme en statistique, on définit une variance, qui permet de mesurer la dispersion autour d'une valeur moyenne.
On étudie également une loi de probabilité particulière, appelée loi binomiale, qui intervient dans un grand nombre de situations.
1. Comment établir une loi de probabilité ?
On considère une expérience aléatoire dont l'ensemble des issues est un ensemble de nombres {x1, x2, . . . , xn}. Ces nombres sont les valeurs possibles d'une variable aléatoire X.
Soit pi, la probabilité de l'issue xi.
Établir la loi de probabilité de X, c'est attribuer à chacun des nombres xi la probabilité pi. Cette loi est représentée sous forme d'un tableau :
Valeur possible
x1
x2
...
xn
 
Probabilité
p1
p2
...
pn
1

Remarques
– Pour établir une loi de probabilité, on commence par déterminer correctement toutes les valeurs possibles, puis on calcule pour chaque valeur sa probabilité.
– On doit avoir p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1.
Exemple
On tire une carte d'un jeu de 32. L'as de cœur rapporte 10 €, un roi, une dame ou un valet rapporte 5 €, un dix 1 € et les autres cartes ne rapportent rien. On appelle X les gains possibles.
Gain possible
10
5
1
0
 
Probabilité
\frac{1}{32}
\frac{12}{32}
\frac{4}{32}
\frac{15}{32}
1

Test n°1Test n°2
2. Comment calculer une espérance ?
Soit X, la variable aléatoire de la loi de probabilité suivante :
Valeur possible
x1
x2
...
xn
 
Probabilité
p1
p2
...
pn
1

On appelle alors espérance de X, notée E(X), le nombre :
E(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}\,p_{i}x_{i}=p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\cdots+p_{n}x_{n}.
Exemple
Reprenons l'exemple précédent.
Gain possible
10
5
1
0
 
Probabilité
\frac{1}{32}
\frac{12}{32}
\frac{4}{32}
\frac{15}{32}
1

On a : E(X)=10\times{\frac{1}{32}}+5\times{\frac{12}{32}}+1\times{\frac{4}{32}}+0\times{\frac{15}{32}}={\frac{74}{32}}\simeq{2,31}.
Remarques
– Si l'on répète l'expérience en notant à chaque fois la valeur obtenue, alors la moyenne de ces valeurs tend vers E(X) quand le nombre de répétitions tend vers l'infini. Si l'on reprend l'exemple précédent, en répétant plusieurs fois l'expérience « prendre une carte » et en notant à chaque fois le gain obtenu, la moyenne de ces gains tend vers \frac{74}{32}.
En moyenne, on peut donc « espérer » gagner 2,31 €.
– L'espérance est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de X.
– Si l'on ajoute la valeur k à toutes les valeurs de X, on ajoute k à E(X). Si l'on multiplie par k toutes les valeurs de X, on multiplie E(X) par k.
Test n°3Test n°4
3. Comment calculer une variance ?
Soit X, la variable aléatoire de la loi de probabilité suivante :
Valeur possible
x1
x2
...
xn
 
Probabilité
p1
p2
...
pn
1

On appelle alors variance de X, notée V(X), le nombre :
V(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}\,(x_{1}-E(X))^{2}p_{i} V(X)=(x_{1}-E(X))^{2}p_{1}+(x_{2}-E(X))^{2}p_{2}+\cdots+(x_{n}-E(X))^{2}p_{n}.
On appelle écart type le nombre \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
Exemple
Reprenons l'exemple précédent.
Gain possible
10
5
1
0
 
Probabilité
\frac{1}{32}
\frac{12}{32}
\frac{4}{32}
\frac{15}{32}
1

On a : E(X)=10\times{\frac{1}{32}}+5\times{\frac{12}{32}}+1\times{\frac{4}{32}}+0\times{\frac{15}{32}}={\frac{74}{32}}\simeq{2,31}.
Et : V(X)=\left(10-\frac{74}{32}\right)^{2}\times{\frac{1}{32}}+\cdots+\left(0-\frac{74}{32}\right)^{2}\times{\frac{15}{32}}\simeq{7,27}. \sigma(X)=\sqrt{V(X)}\simeq{2,697}.
Remarques
– La variance mesure la dispersion de la loi de probabilité autour de l'espérance. On démontre que la probabilité d'obtenir une valeur de X comprise entre E(X) − V(X) et E(X) + V(X) est supérieure à 75 %.
– La variance a toujours une valeur positive ou nulle.
– Si l'on ajoute la valeur k à toutes les valeurs de X, on ne change pas V(X).
– Si l'on multiplie par k toutes les valeurs de X, on multiplie V(X) par k2.
– Pour calculer la variance, on peut utiliser la formule suivante :
V(X)=\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\,x^{2}_{i}p_{i}\right)-E(X)^{2}=x^{2}_{1}p_{1}+x^{2}_{2}p_{2}+\cdots+x^{2}_{n}p_{n}-E(X)^{2}.
Test n°5Test n°6
4. Comment utiliser une loi binomiale ?
• On considère une expérience aléatoire et A, un événement de probabilité non nulle lié à cette expérience ; P(A) = p. On réduit les issues de l'expérience à une alternative :
– si A est réalisé, le succès est noté 1 ; la probabilité de 1 est p ;
– si A n'est pas réalisé, l'échec est noté 0 ; la probabilité de 0 est 1 − p = q.
On obtient la loi suivante dite loi de Bernoulli de paramètre p :
Valeur possible
0
1
Probabilité
q
p

• On répète n fois l'expérience dans des conditions identiques. On s'intéresse alors à X, le nombre de succès (ou nombre de réalisations de A) au cours de ces n répétitions indépendantes. On dit que X suit la loi binomiale de paramètres n et p.
Pour établir la loi de X, le plus simple est de construire un arbre où chaque étage correspond à une répétition et où chaque nœud donne naissance à deux branches A ou \overline{A} de probabilités p et q. Comme d'habitude, la probabilité de chaque chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
Exemple
On répète 3 fois l'expérience précédente. X, le nombre de fois où l'événement A de probabilité p est réalisé, suit la loi binomiale de paramètres 3 et p. Pour établir la loi de X, on construit l'arbre suivant, en indiquant au bout de chaque chemin sa probabilité et la valeur de A à laquelle il correspond.
D'où :
Nombre de succès
0
1
2
3
Probabilité
q3
3pq2
3p2q
p3

Test n°7Test n°8Test n°9
À retenir
• Une variable aléatoire X est une application qui, à chaque événement élémentaire de l'univers, associe un nombre réel.
Définir une loi de probabilité de X, c'est associer à chaque nombre xi un nombre pi positif tel que la somme des pi soit égale à 1.
L'espérance de X est : E(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}\,p_{i}x_{i}.
La variance de X est : V(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}\,(x_{i}-E(X))^{2}p_{i}.
L'écart type est : \sigma(X)=\sqrt{V(X)}.
• Une expérience qui ne comporte que deux résultats, appelés succès et échec, est appelée épreuve de Bernoulli.
Lors de la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on s'intéresse au nombre de succès. La loi de probabilité sur cet ensemble est nommée loi binomiale de paramètres n et p, où p est la probabilité de succès.
------------------------------------------------------------
copyright © 2006-2018, rue des écoles