Probabilités conditionnelles

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Tests
Les probabilités conditionnelles prennent en compte les informations concernant l'issue d'une expérience qui modifient la probabilité des événements liés à cette expérience.
Si je jette un dé non truqué, la probabilité d'obtenir un 6 est de \frac{1}{6}.
Si je lance ce même dé, qu'une tierce personne me cache le résultat et me dit « j'ai vu que le résultat est pair », la probabilité de l'événement « avoir un 6 » change. Je sais que les issues possibles se réduisent maintenant aux nombres 2, 4, 6. La probabilité d'obtenir un 6 devient donc \frac{1}{3}. On dit que la probabilité d'obtenir 6, sachant que le nombre obtenu est pair, est de \frac{1}{3}.
1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?
On considère une expérience aléatoire et deux événements quelconques de probabilités non nulles, A et B.
• Si je sais que l'événement A est ou va être réalisé, alors :
– les issues possibles se réduisent à celles qui réalisent A ;
– les issues qui réalisent B se réduisent à celles qui réalisent à la fois A et B.
• La « probabilité de l'événement B, sachant que l'événement A est réalisé », notée PA (B), est alors \frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A}.
Or : \frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A}=\frac{\frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,d'issues}}}{\frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A}{\mathrm{nombre\,d'issues}}}=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}. On calcule donc une probabilité conditionnelle à l'aide de la définition suivante :
P_{A}(B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}
• On retrouve sur les probabilités conditionnelles les propriétés habituelles d'une probabilité, c'est-à-dire :
P_{A}(\overline{B})=1-P_{A}(B) ;
P_{A}(B\cup{C})=P_{A}(B)+P_{A}(C)-P_{A}(B\cup{C}).
Test n°1Test n°2Test n°3Test n°4Test n°5
2. Comment passer de PA (B) à PB (A) ?
Très souvent, dans la pratique comme dans les problèmes posés, on connaît PA (B) et on veut trouver soit P(A\cap{B}), soit PB (A).
Pour obtenir ces probabilités, il suffit de repartir de la définition précédente.
Soit A et B, deux événements quelconques de probabilités non nulles.
On a : P_{A}(B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)} d'où P(A\cap{B})=P(A)P_{A}(B).
Mais on a aussi : P_{B}(A)=\frac{P(B\cap{A})}{P(B)} d'où P(B\cap{A})=P(B)P_{B}(A).
Et comme B\cap{A}=A\cap{B}, on obtient : P(A\cap{B})=P(B)P_{B}(A)=P(A)P_{A}(B).
Ce qui nous donne au final : P_{B}(A)=\frac{P(A)P_{A}(B)}{P(B)}
Test n°6
3. Comment montrer que deux événements sont indépendants ?
• Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre.
On doit donc avoir : PA (B) = P(B).
C'est-à-dire \frac{P(A\cap{B})}{P(A)}=P(B)\Leftrightarrow{P(A\cap{B})}=P(A)P(B).
A et B sont donc indépendants si et seulement si :
P(A\cap{B})=P(A)P(B).
• Si deux événements A et B sont indépendants, alors :
\overline{A} et B sont indépendants ;
\overline{A} et \overline{B} sont indépendants ;
A et \overline{B} sont indépendants.
• La notion d'indépendance pose souvent problème car on l'utilise dans les deux « sens » :
– dans certains cas, on dit : il est évident que A et B sont indépendants donc P(A\cap{B})=P(A)P(B). Ce cas de figure se présente lorsque A et B sont issus de deux expériences séparées ou de deux répétitions distinctes d'une même expérience, réalisées dans des conditions identiques ;
– dans d'autres cas, on dit : P(A\cap{B})=P(A)P(B), donc A et B sont indépendants. C'est d'ailleurs la réponse que l'on attend quand on pose la question : A et B sont-ils indépendants ?
Remarque
Attention à ne pas confondre :
– A et B incompatibles (c'est-à-dire : P(A\cap{B})=0) ;
– A et B indépendants (c'est-à-dire : P(A\cap{B})=P(A)P(B)).
Test n°7Test n°8Test n°9
4. Comment utiliser la formule des probabilités totales ?
La formule des probabilités totales repose sur l'existence d'une partition.
• Les événements A1, A2, ..., An, réalisent une partition si : A_{1}\cup{A_{2}}\cup\ldots\cup{A_{n}}= \Omega, ensemble des issues ;
A_{i}\cap{A_{j}}=\oslash pour i\neq{j}.
• Ayant une partition A_{1},\,A_{2},\ldots,\,A_{n}, on considère un événement B quelconque. On peut écrire que les issues qui réalisent B se divisent en celles qui appartiennent à A_{1}\cup, celles qui appartiennent à A_{2}\cup\ldots\cup et celles qui appartiennent à An.
C'est-à-dire que B=(B\cap{A_{1}})\cup(B\cap{A_{1}})\cup\ldots\cup(B\cap{A_{n}}).
• D'où la première expression de la formule des probabilités totales :P(B)=P(B\cap{A_{1}})+P(B\cap{A_{2}})+\cdots+P(B\cap{A_{n}})
Et comme P(B\cap{A_{i}})=P(A_{i})P_{A_{i}}(B), on a la deuxième expression de la formule des probabilités totales :P(B)=P(A_{1})P_{A_{1}}(B)+P(A_{2})P_{A_{2}}(B)+\cdots+P(A_{n})P_{A_{n}}(B).
Cas particulier
Dans la plupart des cas, on considère la partition élémentaire A,\,\overline{A}.
On a alors pour un événement B quelconque :
B=(B\cap{A})\cup\left(B\cap{\overline{A}}\right) ;
P(B)=P(B\cap{A})+P\left(B\cap{\overline{A}}\right) ;
P(B)=P(A)P_{A}(B)+P\left(\overline{A}\right)\,P_{\overline{A}}(B).
Test n°10Test n°11
À retenir
• La probabilité de l'événement B, sachant que l'événement A est réalisé, est appelée probabilité conditionnelle. Elle est définie par : P_{A}(B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}.
• Les événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l'un de ces événements n'influe pas sur la probabilité de l'autre. A et B sont donc indépendants si et seulement si :
P(A\cap{B})=P(A)P(B).
• À partir d'une partition, on peut utiliser la formule des probabilités totales.
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