Propriétés de l'intégrale

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Tests
Dans un certain nombre de problèmes, on peut être amené à travailler sur des intégrales qu'on ne sait pas calculer.
Par exemple, si on veut prouver que l'intégrale \int^{2}_{0}\mathrm{e}^{x^{2}}\mathrm{d}x est positive, il n'est pas possible de le faire en calculant explicitement sa valeur. En revanche, il existe des théorèmes (par exemple, ici, le théorème de positivité des intégrales) qui permettent, sous certaines conditions, de connaître le signe d'une intégrale ou de comparer deux intégrales en ne s'intéressant qu'aux fonctions à intégrer.
1. Quelles sont les propriétés de l'intégrale ?
• L'intégrale est linéaire.
Soit α et β deux nombres réels et f et g deux fonctions continues sur [a ; b], alors : \int^{b}_{a}[\alpha\,{f(t)}+\beta\,{g(t)}]\mathrm{d}t=\alpha{\int^{b}_{a}}f(t)\,\mathrm{d}t+\beta{\int^{b}_{a}}g(t)\,\mathrm{d}t.
L'intégrale de la somme de deux fonctions est donc la somme de leurs intégrales.
Attention, cette propriété est généralement fausse pour un produit ou un quotient.
• L'intégrale vérifie la relation de Chasles :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b et c trois réels appartenant à I, alors : \int^{b}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t+\int^{c}_{b}f(t)\,\mathrm{d}t=\int^{c}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t.
Test n°1
2. Comment comparer des intégrales ?
Pour déterminer le signe d'une intégrale ou pour comparer deux intégrales, il est la plupart du temps inutile de les calculer, il suffit de s'appuyer sur le théorème de positivité et le théorème de comparaison des intégrales :
– si une fonction f est continue et positive sur un intervalle [a ; b], avec a\leq{b}, alors \int^{b}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t\geq{0} ;
– si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b], avec a\leq{b}, et si f\leq{g}, alors \int^{b}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t\leq{\int^{b}_{a}}g(t)\,\mathrm{d}t.
On peut ainsi encadrer \int^{b}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t à partir d'un encadrement de f(t) sur l'intervalle [a ; b].
Test n°2
3. Comment calcule-t-on la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle ?
• Soit a et b deux réels distincts et f une fonction continue sur [a ; b], la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [a ; b] est égale au réel \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t.
On utilise la valeur moyenne en physique ou en sciences économiques, lorsqu'on travaille avec des variables continues prenant une infinité de valeurs.
• On retiendra aussi l'inégalité de la moyenne qui permet d'obtenir des encadrements d'intégrale : soit f une fonction continue sur [a ; b], telle que, pour tout x de [a ; b], m\leq{f(x)}\leq{M} alors m(b-a)\leq{\int^{b}_{a}}f(t)\,\mathrm{d}t\leq{M}(b-a).
Test n°3
4. Comment étudier une fonction définie par une intégrale ?
• On utilise le théorème suivant : soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un élément de I. Alors, la fonction F, définie sur I par F(x)=\int^{x}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t, est la primitive de f qui s'annule en a.
Ce théorème permet dans certains cas de calculer la primitive d'une fonction en utilisant une intégration par parties.
Exemple
La primitive de la fonction logarithme qui s'annule en 1 est la fonction F définie sur ]0\,;\,+\infty[ par F(x)=\int^{x}_{1}{\mathrm{ln}\,t}\,\mathrm{d}t.
On procède alors au calcul de cette intégrale à l'aide d'une intégration par parties et on obtient F(x)=x\,\mathrm{ln}\,x-x+1.
Ainsi, les fonctions de la forme x\mapsto{x}\,\mathrm{ln}\,x-x+k, k\in Ensemble R sont les primitives de la fonction ln sur ]0\,;\,+\infty[.
• Ce même théorème permet d'étudier les variations de F sans la déterminer explicitement.
En effet, d'après la définition d'une primitive, la fonction F est dérivable sur I et pour tout réel x appartenant à I, on a F'(x) = f(x).
Ainsi, on peut déterminer le sens de variation de la fonction F définie sur ]0\,;\,+\infty[ par F(x)=\int^{x}_{1}\frac{\mathrm{e}^{t}}{t}\mathrm{d}t, sans calculer cette intégrale.
La fonction F est dérivable sur ]0\,;\,+\infty[ et pour tout réel x > 0, F\prime(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}.
Comme F' est strictement positive sur ]0\,;\,+\infty[, on en déduit que la fonction F est strictement croissante sur ]0\,;\,+\infty[.
Test n°4
À retenir
• L'intégrale est linéaire ;  l'intégrale de la somme de deux fonctions est donc la somme de leurs intégrales.
• L'intégrale conserve le sens des inégalités lorsque les bornes sont dans le « bon ordre »
• Toute fonction continue sur un intervalle I possède des primitives sur I.
• La valeur moyenne de f sur l'intervalle [a ; b] est égale à :
\frac{1}{b-a}\int^{b}_{a}f(x)\mathrm{d}x.
• Dans le cas des fonctions continues, dériver et chercher des primitives sont des opérations contraires l'une de l'autre. La connaissance des formules de dérivation permet de reconnaître les primitives d'une fonction.
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