Résoudre une équation à une inconnue

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Tests
1. Équations du type ax = b
a) Définition
a et b sont deux nombres et a n'est pas nul. Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax = b, où x désigne l'inconnue.
Remarque : on peut utiliser n'importe quelle lettre à la place de x (le plus souvent, on utilise x, y, z ou t).
• Exemples :
3x = 7 est une équation du premier degré d'inconnue x.
x + 4 = −3x + 7 est également une équation du premier degré d'inconnue x, dont on verra qu'elle peut s'écrire 4x = 3.
En revanche, x2 = 3 n'est pas une équation du premier degré, car l'inconnue x figure au carré.
b) Méthode de résolution
• On utilise généralement les deux règles suivantes :
  • on ne change pas les solutions d'une équation si on ajoute ou retranche un même nombre aux deux membres de l'équation ; ainsi a + x = b équivaut à a + x − a = b − a donc à x = b − a ;
  • on ne change pas les solutions d'une équation si on multiplie ou divise chaque membre de l'équation par un même nombre non nul ; ainsi ax = b équivaut à \frac{ax}{a}=\frac{b}{a} donc à x=\frac{b}{a}.
• Remarque : une équation du premier degré à une inconnue admet en général une et une seule solution.
c) Exemples de résolution
Exemple 1 : on veut résoudre l'équation : 3x + 4 = 0.
Retranchons 4 aux deux membres de cette équation. On obtient :
3x + 4 − 4 = 0 − 4
3x = −4
Multiplions chaque membre par \frac{1}{3} :
\frac{1}{3}\times3x=\frac{1}{3}\times(-4)
x=-\frac{4}{3}
-\frac{4}{3} est la solution de l'équation 3x + 4 = 0.
Exemple 2 : on veut résoudre l'équation : 3(x + 2) = 5 − 4x.
On développe d'abord le premier membre. On obtient :
3x + 6 = 5 − 4x
On ajoute −6 + 4x à chaque membre :
3x + 6 − 6 + 4x = 5 − 4x − 6 + 4x
On simplifie les écritures de chaque membre :
7x = −1
-\frac{1}{7} est la solution de l'équation : 3(x + 2) = 5 − 4x.
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2. Équations produits
a) Définition
Une équation à une inconnue x est appelée équation produit si elle est de la forme A × B = 0, où A et B sont des facteurs du premier degré en x, c'est-à-dire de la forme ax + b (a et b étant des nombres donnés).
Exemple : l'équation (2x + 3)(−5x + 6) = 0 est une équation produit.
b) Méthode de résolution
La résolution des équations produits utilise la propriété suivante : si un produit de facteurs est nul, alors l'un au moins de ces facteurs est nul.
On déduit de cette propriété que si A × B = 0, alors A = 0 ou B = 0. La résolution de l'équation produit A × B = 0 équivaut donc à la résolution de deux équations du premier degré en x : A = 0 ou B = 0.
c) Exemples de résolution
Exemple 1 : on veut résoudre l'équation (5x + 1)(2x − 4) = 0.
L'équation (5x + 1)(2x − 4) = 0 équivaut à :
5x + 1 = 0 ou 2x − 4 = 0
5x = −1 ou 2x = 4
x=-\frac{1}{5} ou x = 2
L'équation a donc deux solutions : -\frac{1}{5} et 2.
Exemple 2 : on veut résoudre l'équation (3x − 2)2 = 0.
L'équation (3x − 2)2 = 0 équivaut à :
3x − 2 = 0 (les deux facteurs A et B sont ici identiques)
3x = 2
x=\frac{2}{3}
L'équation a donc une seule solution : \frac{2}{3}.
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