Suites et récurrence

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Fiche
Tests
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
Si (un) prend un nombre fini de valeurs, alors elle converge.
Si (un) est positive et strictement croissante, alors \mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty}u_n=+\infty.
Les suites (un) et (vn) définies par : u_n=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}\,;\,v_n=u_n\,+\,\frac{1}{n} avec n\,\in\,\mathbb{N}^{*} sont adjacentes.
Score : .. /20
Commentaire
• La suite (un) est croissante :
pour tout n\,\in\,\mathbb{N}^*,u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)^{2}}\,;\,\mathrm{donc}\,u_{n+1}-u_n\,>\,{0}.
La suite (vn) est décroissante :
pour tout n\,\in\,\mathbb{N}^*,v_{n+1}-v_n=u_{n+1}+\frac{1}{(n+1)}-u_n-\frac{1}{n} ;
v_{n+1}-v_{n}=(u_{n+1}-u_n)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right) ;
v_{n+1}-v_{n}=\frac{-1}{n(n+1)^{2}}.
Donc v_{n+1}-v_{n}\,<\,0.
\mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty}(v_n-u_n)=\mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty}\frac{1}{n}=0.
On en déduit que les suites (u_n)\,\mathrm{et}\,(v_n) sont adjacentes.
• Les autres propositions sont fausses.
un = (−1)n ne prend que deux valeurs mais ne converge pas.
On considère u_n=2-\frac{1}{n}\,\mathrm{avec}\,n\,\in\,\mathbb{N}^*.
(un) est positive, croissante strictement et \mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty}u_n=2.
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