Analyse

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Soit f une fonction continue sur [1 ; + \infty[.
Si \int^{+\infty}_{1} f(t) dt diverge, alors f(t) ne tend pas vers 0 quand t tend vers +\infty.
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vrai
faux
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Commentaire
• Soit f la fonction définie sur ]0, +\infty[ par f(t)=\frac{1}{t}.
f est continue sur [1, +\infty[ et \mathop {\lim}\limits_{t \to +\infty }\,f(t)=0.
Soit I=\int^{+\infty}_{1}\,\frac{1}{t}\,dt.
Pour A > 1, posons I_{A}=\int^{A}_{1}\,\frac{1}{t}\,dt.
I_{A}=[\ln\,t]^{A}_{1}=\ln\,A-\ln\,1
Soit IA = ln A.
\mathop {\lim}\limits_{A \to +\infty }\,I_{A}=\mathop {\lim}\limits_{A \to +\infty }\,(\ln\,A)=+\infty
On en déduit que l'intégrale impropre \int^{+\infty}_{1} f(t) dt est divergente.
Cependant, f(t) tend vers 0 quand t tend vers + \infty.
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