Analyse

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Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
Si une intégrale est convergente, alors elle est absolument convergente.
Si une intégrale est absolument convergente, alors elle est convergente.
Si f est continue sur Ensemble R et impaire, alors \int^{+\infty}_{-\infty} f(t) dt est convergente.
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Commentaire
• C'est une propriété du cours : la convergence absolue d'une intégrale implique la convergence.
• La réciproque est fausse :
\int^{+\infty}_{\pi/2}\,\frac{\sin\,t}{t}\,dt est une intégrale convergente,
alors que \int^{+\infty}_{\pi/2}\,\left| \frac{\sin\,t}{t}\right| \,dt est une intégrale divergente.
Une telle intégrale est dite semi-convergente.
• La troisième proposition est fausse.
Soit f la fonction définie sur Ensemble R par f(t) = t.
f est continue sur Ensemble R et impaire.
\int^{+\infty}_{0}\,t\,dt est divergente,
donc \int^{+\infty}_{-\infty}\,t\,dt est divergente.
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