Dénombrement

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À l'issue d'une réunion, chaque participant serre la main des autres participants. Au total, 28 poignées de main sont échangées.
Le nombre de participants à la réunion est :
Cochez la bonne réponse.
7.
8.
14.
21.
28.
Score : .. /20
Commentaire
• On peut tester les réponses. Si la réunion comporte 8 personnes, la première personne serre la main à 7 personnes, la seconde à 6 personnes (elle ne serre pas de nouveau la main de la première personne), etc. Le nombre de poignées de main échangées est :
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28.
• Soit n le nombre de personnes assistant à la réunion.
La première personne serre la main à n − 1 personnes, la seconde à n − 2 personnes, la troisième à n − 3 personnes, etc.
Le nombre total de poignées de main échangées est :
(n − 1) + (n − 2) + (n − 3) + … + 1 = 28.
• On rappelle que :
\sum^{n}_{k=1}\,k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
Cette formule donne la somme des n premiers entiers naturels.
On a donc \frac{(n-1)(n)}{2}=28,
soit n2 − n = 56,
n2 − n − 56 = 0.
Δ = 1 − 4 (−56) = 225 = 152.
Cette équation admet deux solutions : −7 et 8.
Seule la solution 8 est acceptable ici.
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