Probabilités

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On lance deux fois de suite un dé équilibré.
On considère les événements :
E : « le premier nombre obtenu est pair » ;
F : « le second nombre obtenu est impair » ;
G : « la somme des deux nombres obtenus est paire ».
Quelle est la proposition juste ?
Cochez la bonne réponse.
E, F, G sont des événements deux à deux indépendants.
E, F, G sont des événements mutuellement indépendants.
Score : .. /20
Commentaire
• L'univers considéré est Ω = [1; 6]^{2}.
On définit sur Ω une probabilité uniforme p.
p(\mathrm{E})=p(\mathrm{F})=p(\mathrm{G})=\frac{1}{2}.
p(\mathrm{E}\cap{\mathrm{F}})=\frac{1}{4}
p(\mathrm{F}\cap{\mathrm{G}})=\frac{1}{4}
p(\mathrm{E}\cap{\mathrm{G}})=\frac{1}{4}
Donc p(\mathrm{E}\cap{\mathrm{F}})=p(\mathrm{E})\times{\mathrm{p}(\mathrm{F})} et les événements E et F sont indépendants.
• De même, on montre que les événements F et G d'une part et E et G d'autre part sont indépendants.
Par conséquent, les événements E, F, G sont deux à deux indépendants.
• Cependant, ils ne sont pas mutuellement indépendants car :
p(\mathrm{E}\cap{\mathrm{F}}\cap{\mathrm{G}})=0.
En effet, si le premier nombre obtenu est pair et le deuxième impair, la somme des deux nombres obtenus ne peut pas être paire.
Donc p(\mathrm{E}\cap{\mathrm{F}}\cap{\mathrm{G}})\neq{p(\mathrm{E})}\times{p(\mathrm{G})}\times{p(\mathrm{F})} et les événements E, F, G ne sont pas mutuellement indépendants.
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