Suites et séries

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Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
Si \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,u_{n}=0, alors la série de terme général (un) est convergente.
Si \forall n \in Ensemble N un inférieur ou égal vn et la série de terme général v n est convergente, alors la série de terme général un est aussi convergente.
Si la série de terme général un est convergente, alors la suite (un) est convergente.
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Commentaire
• D'après le cours, si la série de terme général un est convergente, on a : \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,u_{n}=0, donc la suite (un) converge.
• La réciproque « si \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,u_{n}=0, alors la série de terme général (un) est convergente » est fausse.
La série harmonique est la série de terme général u_{n}=\frac{1}{n}.
On a bien \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,u_{n}=\mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,\frac{1}{n}=0.
Cependant, on sait que la série harmonique diverge (c'est une série de Riemann du type \sum\frac{1}{n^{\alpha}}\,\mathrm{avec}\,\alpha=1).
• L'énoncé « si \forall n \in Ensemble N un inférieur ou égal vn et la série de terme général v n est convergente, alors la série de terme général un est aussi convergente » est faux aussi. Il manque la condition « les séries de terme général un et vn sont des séries à termes positifs ».
En effet, si on prend v_{n}=\frac{1}{n^{2}}, la série \sum\limits_{n\geq1}\frac{1}{n^{2}} est une série de Riemann avec α = 2. Elle converge.
Soit un = − 1.
On a bien, pour tout n \in Ensemble N, un inférieur ou égal vn. Cependant, la série de terme général un ne converge pas, car son terme général ne tend pas vers 0.
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