Suites et séries

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La série de terme général u_{n}=\frac{(ln\,n)^{4}}{n\sqrt{n}} est convergente.
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Commentaire
• On applique la règle du « n^{\alpha} un ».
\mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,n^{\frac{4}{3}}\frac{(ln\,n)^{4}}{n\sqrt{n}}=\mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,\frac{n^{\frac{4}{3}}}{n^{\frac{3}{2}}}(ln\,n)^{4}
soit
\mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,n^{\frac{4}{3}}\frac{(ln\,n)^{4}}{n\sqrt{n}}=\mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,n^{-\frac{1}{6}}(ln\,n)^{4}.
Or \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,\frac{(ln\,n)^{4}}{n^{\frac{1}{6}}}=0 par croissance comparée.
Donc il existe un entier N tel que, pour tout n supérieur ou égal N, \frac{(ln\,n)^{4}}{n^{\frac{1}{6}}}\leq1, par définition de la limite.
• Pour n supérieur ou égal N, on a donc n^{\frac{4}{3}}\frac{(ln\,n)^{4}}{n\sqrt{n}}\leq1,
soit u_{n}\leq\frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}.
• Pour n supérieur ou égal 1, un supérieur ou égal 0.
• Pour n supérieur ou égal N, un inférieur ou égal \frac{1}{n^{\frac{4}{3}}}.
• La série de terme général \frac{1}{n^{\frac{4}{3}}} est une série de Riemann convergente (α = \frac{4}{3} donc α > 1).
D'après le critère de comparaison des séries à termes positifs, la série de terme général u_{n}=\frac{(ln\,n)^{4}}{n\sqrt{n}} est convergente.
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