Suites et séries

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La série de terme général u_{n}=n^{\frac{1}{n}}-1 est convergente.
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Commentaire
• Pour n\in\mathbb{N}^{*},\,u_{n}=n^{\frac{1}{n}}-1,
soit u_{n}=e^{\frac{1}{n}ln\,n}-1.
Par croissance comparée, \mathop {\lim}\limits_{n \to +{\infty} }\,\frac{ln\,n}{n}=0.
Or ey − 1 \sim_{0} y,
donc e^{\frac{1}{n}\,ln\,n}-1\sim_{0}\frac{1}{n}\,ln\,n.
Pour n supérieur ou égal 1, un est positif et \frac{1}{n}\,ln\,n est positif, donc les séries de terme général un et \frac{1}{n}\,ln\,n sont de même nature.
Or pour n supérieur ou égal 3, ln n supérieur ou égal 1 donc \frac{ln\,n}{n}\geq\frac{1}{n}.
On sait que la série de terme général \frac{1}{n} (série harmonique) est divergente.
• D'après le critère de comparaison des séries à termes positifs, on en déduit que la série de terme général \frac{ln\,n}{n} est aussi divergente.
La série de terme général un étant de même nature que la série de terme général \frac{ln\,n}{n}, elle est divergente.
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