Calculer avec des vecteurs

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Tests
• Dans un plan muni d'un repère (O ; I, J), à tout vecteur \vec u est associé un unique point M tel que \overrightarrow {\rm{OM}} = \vec u, le point M est l'image de l'origine O du repère par la translation de vecteur \vec u.
Par définition, les coordonnées de \vec u sont celles de M : si M a pour coordonnées \left( {x\,;\;y} \right), le vecteur \vec u a pour coordonnées \left( {x\,;\;y} \right), on écrit \vec u\left( {x\,;\;y} \right) ou aussi \vec u\left| {\begin{array}{l} x \\ y \\ \end{array}} \right.. Par exemple, sur le dessin ci-dessous on a : \vec u\left( {3\,;\;4} \right).
Il en découle que deux vecteurs \vec u\left( {x\,;\;y} \right) et \vec v\left( {x'\,;\;y'} \right) sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées : x = x' et y = y'.
• Il est facile de calculer les coordonnées d'un vecteur \overrightarrow {\rm{AB}} quelconque à partir des coordonnées des points A et B. Dans un repère du plan, soit A un point de coordonnées \left( {x_{\rm{A}} \,;\;y_{\rm{A}} } \right) et B un point de coordonnées \left( {x_{\rm{B}} \,;\;y_{\rm{B}} } \right), alors le vecteur \overrightarrow {\rm{AB}} a pour coordonnées \left( {x_{\rm{B}} - x_{\rm{A}} \,;\;y_{\rm{B}} - y_{\rm{A}} } \right).
• Soit \vec u et \vec vdeux vecteurs de coordonnées \vec u\left( {x\,;\;y} \right) et \vec v\left( {x'\,;\;y'} \right), alors :
– la somme de deux vecteurs \vec u(x\,;\;y) et \vec v(x'\,;\;y') est un vecteur \vec u + \vec v qui a pour coordonnées \left( {x + x'\,;\;y + y'} \right) ;
– le produit d'un vecteur \overrightarrow u (x\,;\;y) par un réel k est un vecteur k\overrightarrow u qui a pour coordonnées \left( {kx\,;\;ky} \right).
• Soit deux vecteurs de coordonnées \vec u\left( {x\,;\;y} \right) et \vec v\left( {x'\,;\;y'} \right).
La colinéarité des deux vecteurs \vec u et \vec v se traduit par deux égalités :
\vec v = k\vec u si et seulement si x' = kx et y' = ky.
Elle se traduit aussi plus simplement par une égalité de proportionnalité dite des « produits en croix » :
\vec u et \vec v sont colinéaires si et seulement si xy' = x'y.
Par exemple, les vecteurs \vec u\left| {\begin{array}{l} 3 \\ { - 2} \\ \end{array}} \right. et \vec v\left| {\begin{array}{l} { - 7,5} \\ 5 \\ \end{array}} \right. sont colinéaires car 3 \times 5 = ( - 2) \times ( - 7,5) = 15.
• Si A et B sont deux points de coordonnées respectives \left( {x_{\rm{A}} \,;\;y_{\rm{A}} } \right) et \left( {x_{\rm{B}} \,;\;y_{\rm{B}} } \right), alors on a tout naturellement :
\left\| {\overrightarrow {\rm{AB}} } \right\| = \sqrt {\left( {x_{\rm{B}} - x_{\rm{A}} } \right)^2 + \left( {y_{\rm{B}} - y_{\rm{A}} } \right)^2 }.
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