Calculer la limite d'une suite

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Tests

• La limite d'une suite – si elle existe – est celle de son terme général U_n lorsque n tend vers $+ \infty$ .
Pour prouver qu'une suite admet une limite et trouver celle-ci, on peut parfois utiliser les théorèmes d'encadrement – dont le théorème des gendarmes – valables pour les fonctions. En effet les opérations et propriétés sur les limites de fonctions en $+ \infty$ sont également valables pour les suites.
De plus, si une suite est définie de manière explicite, alors sa limite est celle de la fonction associée en $+ \infty$ .

• Une suite est dite convergente si elle admet une limite finie (c'est-à-dire un réel).
Une suite est dite divergente, soit si elle n'admet pas de limite (comme par exemple $U_n = \sin n$ , $U_n = \cos n$ , $U_n = \left( { - 1} \right)^n$ , etc.), soit si elle admet une limite infinie, c'est-à-dire $+ \infty$ ou $- \infty$ (comme, par exemple, U_n = n^2

• On peut utiliser les théorèmes de limite par comparaison :
– si $u_{n}\leq{v_{n}}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty} \,v_{n}=-\infty,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}\,u_{n}=-\infty$ ;
– si $u_{n}\leq{v_{n}}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}\,u_{n}=+\infty,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}v_{n}=+\infty$ ;
– si $u_{n}\leq{w_{n}}\leq{v_{n}}\,\mathrm{et}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}\,v_{n}=\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}\,u_{n}=L,\,\mathrm{alors}\,\mathop {\lim }\limits_{n\to+\infty}\,w_{n}=L.$

• Enfin, il convient de se souvenir que toute suite croissante majorée est convergente et que toute suite décroissante minorée est également convergente :
– une suite (u_n) est majorée s'il existe un réel M tel que, pour tout naturel n, $u_{n}\leq{M}$ ;
– une suite (u_n) est minorée s'il existe un réel m tel que, pour tout naturel n, $u_{n}\geq{m}$ ;
– une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Remarques

Une suite convergente est bornée mais la réciproque est fausse : ainsi, la suite de terme général u_n = (−1)ⁿ, qui est bornée, est divergente.
Ce théorème de convergence monotone est très utile puisqu'il permet d'établir la convergence d'une suite. En revanche, il ne permet pas de déterminer la valeur de la limite.
Test n°1 Test n°2

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