Calculer une aire avec une intégrale

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Fiche
Tests
Soit C la courbe représentative de la fonction f définie par :
f(x)={x}^{2}\mathrm{ln}\,x.
Soit A l'aire de la surface comprise entre la courbe C, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x = 1 et x = a (où a est un réel, a > 1).
On a A=\frac{1}{9} pour :
Cochez la bonne réponse.
a=\mathrm{e}^{\frac{1}{9}}.
a={\mathrm{e}}^{\frac{1}{3}}.
a=\sqrt{\mathrm{e}}.
Score : .. /20
Commentaire
La fonction f est continue et positive sur [1 ; a] avec a > 1.
Donc A=\int_{1}^{a}\,x^{2}\,\mathrm{ln}\,x\mathrm{d}x.
On pose :
u(x)=\mathrm{ln}\,x\;\;\;\,v'(x)=x^{2} ;
u'(x)=\frac{1}{x}\;\;\;\,v(x)=\frac{1}{3}x^{3}
u et v sont dérivables sur [1 ; a] et u', v' continues sur [1 ; a].
D'après le théorème d'intégration par parties :
A=\left[\frac{1}{3}x^{3}\,\mathrm{ln}\,x\right]_{1}^{a}\,-\,\int_{1}^{a}\left(\frac{1}{3}x^{3}\right)\left(\frac{1}{x}\right)\,\mathrm{d}x
A=\left[\frac{1}{3}x^{3}\,\mathrm{ln}\,x\right]_{1}^{a}\,-\,\frac{1}{9}\left[x^{3}\right]_{1}^{a}
A=\frac{1}{3}a^{3}\,\mathrm{ln}\,a\,-\,\frac{1}{9}a^{3}\,+\,\frac{1}{9}
A=\frac{1}{9}\,\Leftrightarrow\,\frac{1}{3}a^{3}\,\mathrm{ln}\,a\,-\,\frac{1}{9}a^{3}=0
A=\frac{1}{9}\,\Leftrightarrow\,\frac{1}{9}a^{3}\,\left(3\,\mathrm{ln}\,a\,-\,1\right)=0.
Or a > 1, donc A=\frac{1}{9}\,\Leftrightarrow\,3\,\mathrm{ln}\,a\,-\,1=0\,\Leftrightarrow\,a=\mathrm{e}^{\frac{1}{3}}.
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