Calculer une intégrale

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Fiche
Tests
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
\int_{1}^\mathrm{{e}}\,\mathrm{ln}\,t\,\mathrm{d}t\,=\,1
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{sin}\,2t\,\mathrm{d}t=\sqrt{2}
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\mathrm{sin}t}{\mathrm{cos}^{2}t}\mathrm{d}t=1
Score : .. /20
Commentaire
• Soit I=\int_{1}^\mathrm{{e}}\mathrm{ln}\,t\,\mathrm{d}t. On pose  :
u(t)=\mathrm{ln}\,t\;\;\;\,v'(t)=1 ;
u'(t)=\frac{1}{t}\;\;\;\,v(t)=t
u et v sont dérivables sur [1\,;\,\mathrm{e}] et u', v' continues sur [1\,;\,\mathrm{e}].
D'après le théorème d'intégration par parties :
I=[t\,\mathrm{ln}\,t]_{1}^\mathrm{e}-\int_{1}^\mathrm{{e}}t\times\frac{1}{t}\mathrm\,{d}t
I=\mathrm{e}\,\mathrm{ln}\,\mathrm{e}-[t]_{1}^\mathrm{{e}} I=\mathrm{e}\,-\,(\mathrm{e}\,-\,1)=1.
• Les autres propositions sont fausses.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\mathrm{sin\,2}t\,\mathrm{d}t=\left[-\frac{1}{2}\,\mathrm{cos\,2}t\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=-\frac{1}{2}\,\left[\mathrm{cos}\frac{\pi}{2}-\mathrm{cos\,0}\right]=\frac{1}{2}
et \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\,\frac{\mathrm{sin}\,t}{\mathrm{cos}^{2}\,t}\,\mathrm{d}t=\left[\frac{1}{\mathrm{cos}\,t}\right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{\mathrm{cos}\frac{\pi}{6}}-\frac{1}{\mathrm{cos}\,0}=\frac{2}{\sqrt{3}}-1.
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