Calculer une probabilité conditionnelle

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Tests
• On considère une expérience aléatoire et deux événements quelconques de probabilités non nulles, A et B.
Si je sais que l'événement A est ou va être réalisé, alors :
– les issues possibles se réduisent à celles qui réalisent A ;
– les issues qui réalisent B se réduisent à celles qui réalisent à la fois A et B.
• La « probabilité de l'événement B, sachant que l'événement A est réalisé », notée PA (B), est alors \frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A}.
Or : \frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A}=\frac{\frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,d'issues}}}{\frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A}{\mathrm{nombre\,d'issues}}}=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}. On calcule donc une probabilité conditionnelle à l'aide de la définition suivante :
P_{A}(B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}
• On retrouve sur les probabilités conditionnelles les propriétés habituelles d'une probabilité, c'est-à-dire :
P_{A}(\overline{B})=1-P_{A}(B) ;
P_{A}(B\cup{C})=P_{A}(B)+P_{A}(C)-P_{A}(B\cup{C}).
• Très souvent, dans la pratique comme dans les problèmes posés, on connaît PA (B) et on veut trouver soit P(A\cap{B}), soit PB (A).
On utilise la relation : P_{B}(A)=\frac{P(A)P_{A}(B)}{P(B)}
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