Composer des fonctions

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Tests

• Soit f une fonction définie sur un ensemble D_f

quelconque et g une fonction définie sur un ensemble D_g

tel que, pour tout $x \in D_f$ , $f\left( x \right) \in D_g$ . On peut alors définir la fonction « composée de f suivie de g », elle est notée $g \circ f$ et définie sur D_f

par $g \circ f(x) = g\left[ {f(x)} \right]$ .

• Pour déterminer le domaine $D_{g \circ f}$ de la composée $g \circ f$ , on impose que : $\left\{ \begin{array}{l} x \in D_f \\ f(x) \in D_g \\ \end{array} \right.$ .

Remarque

Attention, en général $f \circ g \ne g \circ f$ .

• Pour décomposer une fonction f, il suffit de préciser les actions successives à effectuer pour transformer x en f(x)

. On peut décrire chaque action à réaliser en français en utilisant un verbe à l'infinitif.

Exemple

Si la fonction f est définie sur Ensemble R

$- \{ 2\}$ par $f\left( x \right) = 2 - \frac{5}{{\left( {x - 2} \right)^2 }}$ , alors les actions successives à effectuer sont les suivantes : à partir de x, retrancher 2, élever au carré, prendre l'inverse, multiplier par -5 et ajouter 2.
Ainsi, on peut décomposer f de la façon suivante : $f = u_5 \circ u_4 \circ u_3 \circ u_2 \circ u_1$ , avec $u_1~:x \mapsto x - 2~;$ $u_2~:x \mapsto x^2~;$ $u_3~:x \mapsto \frac{1}{x}~;$ $u_4~:x \mapsto - 5x$ et $u_5~:x \mapsto x + 2$ .
Test n°1 Test n°2 Test n°3

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