Connaître les propriétés de la fonction exponentielle

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Fiche
Tests
Pour tout réel m, on considère l'équation (Em) d'inconnue réelle x :
e2x − 2ex − m = 0.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
L'unique valeur de m pour laquelle 0 est solution de (Em) est m = 0.
Si m > 0, l'équation (Em) a une unique solution.
Pour toute valeur de m, l'équation (Em) admet au moins une solution.
Score : .. /20
Commentaire
• Si m = 0, (E0) s'écrit : e2x − 2ex − m = 0 \Leftrightarrow ex (ex − 2) = 0.
Cette équation admet une unique solution : ln 2 et non pas 0.
• On pose X = ex avec X > 0.
(Em) s'écrit alors X2 − 2X − m = 0.
Δ = 4 + 4m
Δ > 0 \Leftrightarrow m > −1.
Donc la proposition « pour toute valeur de m, l'équation (Em) admet au moins une solution » est fausse.
• Si m > 0, alors Δ > 0 et X2 − 2X − m = 0 admet deux solutions : X_1 = 1 + \sqrt{1+m} et X_2 = 1 - \sqrt{1+m}.
Or X2 est négatif, donc seul X1 convient.
On cherche alors x tel que ex = 1 + \sqrt{1+m}.
Soit x = ln (1 + \sqrt{1+m}).
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