Connaître les propriétés de la fonction logarithme népérien

-----------------------------------------------
icone Fiche
Tests
• L'allure de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien permet de retrouver les propriétés suivantes :
– ln x existe si et seulement si x est strictement positif ; 
– ln 1 = 0 et ln e = 1 ;
– ln x < 0 si et seulement si 0 < x < 1 ; 
– la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +\infty[ ; 
– la limite de ln x quand x tend vers 0 (par valeurs supérieures) est −\infty ; 
– la limite de ln x quand x tend vers +\infty est +\infty ; 
– la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +\infty[ et sa dérivée est la fonction x\,\mapsto\,{\frac{1}{x}} ; 
– si u est une fonction dérivable et qu'elle est strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln \circ u est dérivable sur I et sa dérivée est \frac{u^\prime}{u}.
Remarque
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.
• Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout rationnel z : \mathrm{ln}(ab)=\mathrm{ln}\,a+\mathrm{ln}\,b ; \mathrm{ln}\,\frac{a}{b}=\mathrm{ln}\,a-\mathrm{ln}\,b ; \mathrm{ln}\,\frac{1}{a}=-\,\mathrm{ln}\,a ; \mathrm{ln}\,a^{z}={z}\mathrm{ln}\,a.
Cette dernière formule admet un cas particulier très utile : \mathrm{ln}\sqrt{a}=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,a.
Les propriétés algébriques de la fonction logarithme jouent un rôle essentiel dans la simplification des calculs. Elles permettent notamment de résoudre certaines inéquations où l'inconnue figure en exposant.
Test n°1Test n°2Test n°3
------------------------------------------------------------
copyright © 2006-2018, rue des écoles