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Préparation aux épreuves
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Autour de la fonction publique
Connaître les propriétés de la fonction logarithme népérien
-----------------------------------------------icone Fiche
Tests
• L'allure de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien permet de retrouver les propriétés suivantes :
– ln x existe si et seulement si x est strictement positif ;
– ln 1 = 0 et ln e = 1 ;
– ln x < 0 si et seulement si 0 < x < 1 ;
– la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +
[ ;
– la limite de ln x quand x tend vers 0 (par valeurs supérieures) est −
;
– la limite de ln x quand x tend vers +
est +
;
– la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +
[ et sa dérivée est la fonction 
;
– si u est une fonction dérivable et qu'elle est strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln
u est dérivable sur I et sa dérivée est 
– ln x existe si et seulement si x est strictement positif ;
– ln 1 = 0 et ln e = 1 ;
– ln x < 0 si et seulement si 0 < x < 1 ;
– la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +
[ ; – la limite de ln x quand x tend vers 0 (par valeurs supérieures) est −
; – la limite de ln x quand x tend vers +
est + ; – la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +
[ et sa dérivée est la fonction ; – si u est une fonction dérivable et qu'elle est strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln
u est dérivable sur I et sa dérivée est 
Remarque
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.• Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout rationnel z : 
; 
; 
; 
Cette dernière formule admet un cas particulier très utile :
; ; ; Cette dernière formule admet un cas particulier très utile :