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Préparation aux épreuves
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Autour de la fonction publique
Connaître les propriétés de la fonction logarithme népérien
-----------------------------------------------icone Fiche
Tests
• L'allure de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien permet de retrouver les propriétés suivantes :
– ln x existe si et seulement si x est strictement positif ;
– ln 1 = 0 et ln e = 1 ;
– ln x < 0 si et seulement si 0 < x < 1 ;
– la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +
[ ;
– la limite de ln x quand x tend vers 0 (par valeurs supérieures) est −
;
– la limite de ln x quand x tend vers +
est +
;
– la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +
[ et sa dérivée est la fonction
;
– si u est une fonction dérivable et qu'elle est strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln
u est dérivable sur I et sa dérivée est 
– ln x existe si et seulement si x est strictement positif ;
– ln 1 = 0 et ln e = 1 ;
– ln x < 0 si et seulement si 0 < x < 1 ;
– la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +

– la limite de ln x quand x tend vers 0 (par valeurs supérieures) est −

– la limite de ln x quand x tend vers +


– la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +


– si u est une fonction dérivable et qu'elle est strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction ln


Remarque
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.• Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout rationnel z :
;
;
; 
Cette dernière formule admet un cas particulier très utile :




Cette dernière formule admet un cas particulier très utile :
