Test n°2 | Déterminer les asymptotes à la courbe d'une fonction | Mise à niveau et entraînement | Préparation aux épreuves | Administratif

Déterminer les asymptotes à la courbe d'une fonction

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Fiche

Tests

La courbe de la fonction h : x $\mapsto \sqrt{x^2+x}-x$ :

Cochez la bonne réponse.

ok	admet en $+\infty$ une asymptote horizontale.

admet en $+\infty$ une asymptote oblique.

n'admet pas d'asymptote en $+\infty$ .

Score : .. /20

Commentaire

On est en présence d'une forme indéterminée de type « $(+\infty) - (+\infty)$ » et h est une fonction comportant une racine carrée.
Donc, pour tout x > 0 : $\sqrt{x^2+x}-x= \frac {(\sqrt{x^2+x}-x) (\sqrt{x^2+x}+x)} {\sqrt{x^2+x}+x}$ $= \frac {(\sqrt{x^2+x})^2-x^2} {\sqrt{x^2+x}+x}$ $\sqrt{x^2+x}-x= \frac {x} {\sqrt{x^2+x}+x}=\frac {x} {\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x})}+x}$ $\sqrt{x^2+x}-x= \frac {x} {x\sqrt{1+\frac {1} {x}}+x}$ car $\sqrt{x^2}=| x| =x$ car x > 0. $\sqrt{x^2+x}-x= \frac {1} {\sqrt{1+\frac {1} {x}}+1}$ .
Or $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {1} {x} = 0$ , donc $\lim_{x\rightarrow +\infty} h(x)= \frac {1} {2}$ .
Ainsi, la courbe de h admet en $+\infty$ une asymptote horizontale d'équation $y=\frac {1} {2}$ .