Déterminer les asymptotes à la courbe d'une fonction

-----------------------------------------------
Fiche
Tests
La courbe de la fonction h définie sur Ensemble R - \left\{ 2 \right\} par h\left( x \right) = \frac{{x + 3}}{{x - 2}} admet :
Cochez la bonne réponse.
une asymptote verticale d'équation x = - 3
une asymptote horizontale d'équation y = 1 en + \infty et en - \infty
ni asymptote horizontale, ni asymptote verticale
Score : .. /20
Commentaire
• La fonction h est définie sur D_h = \left] { - \infty \,;2} \right[ \cup \left] {2\,; + \infty } \right[, donc on calcule les limites de h en - \infty, + \infty, 2- et 2+.
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x\left( {1 + \frac{3}{x}} \right)}}{{x\left( {1 - \frac{2}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{3}{x}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = 1, car \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } - \frac{2}{x} = 0.
De même, on montre que \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h\left( x \right) = 1.
On en déduit que la courbe de h admet en + \infty et en - \infty une asymptote horizontale d'équation y = 1.
\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ - } h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ - } \frac{{x + 3}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ - } \frac{5}{{x - 2}} = - \infty, car \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ - } x - 2 = 0^ - et \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } \frac{1}{x} = - \infty.
De plus, \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } \frac{{x + 3}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } \frac{5}{{x - 2}} = + \infty, car \mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } x - 2 = 0^ + et \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{1}{x} = + \infty.
On en déduit que la courbe de h admet une asymptote verticale d'équation x = 2 (et non pas d'équation x = - 3).
------------------------------------------------------------
copyright © 2006-2021, rue des écoles