Test n°1 | Déterminer une équation cartésienne d'un plan | Mise à niveau et entraînement | Préparation aux épreuves | Administratif

Déterminer une équation cartésienne d'un plan

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Fiche

Tests

Dans l'espace rapporté au repère orthonormal $(0\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j}\,;\,\vec{k})$ , on considère les points $\mathrm{P}(0\,;\,1\,;\,-1)\,;\,\mathrm{Q}(1\,;\,2\,;\,1)\,\mathrm{et}\,\mathrm{R}(1\,;\,1\,;\,1).$
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

Cochez la bonne réponse.

ok	L'ensemble des points M tels que $\overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=3$ est un plan normal à $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}.$

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$ sont orthogonaux.

L'ensemble des points M tels que $\overrightarrow{\mathrm{MP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MQ}}=0$ est un plan.

Score : .. /20

Commentaire

• Soit M de coordonnées (x ; y ; z), on a :
$\overrightarrow{\mathrm{PM}}(x\,;\,y-1\,;\,x+1)$ ; $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}(1\,;\,1\,;\,2)$ .
$\overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=3\Leftrightarrow{x+y-1+2x+2=3}$ .
$\overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=3\Leftrightarrow{x+y+2x=2}.$
Or x + y + 2z = 2 est l'équation cartésienne d'un plan admettant le vecteur $\vec{u}(1\,;\,1\,;\,2)$ comme vecteur normal.
On remarque que $\vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ , on peut donc affirmer que l'ensemble des points M tels que $\overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=3$ est un plan normal à $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}.$

• Les autres propositions sont fausses.
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}(1\,;\,1\,;\,2)$ et $\overrightarrow{\mathrm{PR}}(1\,;\,0\,;\,2)$ , donc $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}}=1+4=5.$
$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$ ne sont donc pas orthogonaux.

L'ensemble des points M de l'espace tels que $\overrightarrow{\mathrm{MP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MQ}}=0$ est la sphère de diamètre [PQ].