Déterminer une équation cartésienne d'un plan

-----------------------------------------------
Fiche
Tests
Dans l'espace rapporté au repère orthonormal (0\,;\,\vec{i}\,;\,\vec{j}\,;\,\vec{k}), on considère les points \mathrm{P}(0\,;\,1\,;\,-1)\,;\,\mathrm{Q}(1\,;\,2\,;\,1)\,\mathrm{et}\,\mathrm{R}(1\,;\,1\,;\,1).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
L'ensemble des points M tels que \overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=3 est un plan normal à \overrightarrow{\mathrm{PQ}}.
\overrightarrow{\mathrm{PQ}} et \overrightarrow{\mathrm{PR}} sont orthogonaux.
L'ensemble des points M tels que \overrightarrow{\mathrm{MP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MQ}}=0 est un plan.
Score : .. /20
Commentaire
• Soit M de coordonnées (x ; y ; z), on a :
\overrightarrow{\mathrm{PM}}(x\,;\,y-1\,;\,x+1) ; \overrightarrow{\mathrm{PQ}}(1\,;\,1\,;\,2).
\overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=3\Leftrightarrow{x+y-1+2x+2=3}.
\overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=3\Leftrightarrow{x+y+2x=2}.
Or x + y + 2z = 2 est l'équation cartésienne d'un plan admettant le vecteur \vec{u}(1\,;\,1\,;\,2) comme vecteur normal.
On remarque que \vec{u}=\overrightarrow{\mathrm{PQ}}, on peut donc affirmer que l'ensemble des points M tels que \overrightarrow{\mathrm{PM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=3 est un plan normal à \overrightarrow{\mathrm{PQ}}.
• Les autres propositions sont fausses.
\overrightarrow{\mathrm{PQ}}(1\,;\,1\,;\,2) et \overrightarrow{\mathrm{PR}}(1\,;\,0\,;\,2), donc \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PR}}=1+4=5.
\overrightarrow{\mathrm{PQ}} et \overrightarrow{\mathrm{PR}} ne sont donc pas orthogonaux.
L'ensemble des points M de l'espace tels que \overrightarrow{\mathrm{MP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MQ}}=0 est la sphère de diamètre [PQ].
------------------------------------------------------------
copyright © 2006-2019, rue des écoles