Déterminer une équation cartésienne d'un plan

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Fiche
Tests
Soit, dans l'espace :
– le plan (P) d'équation 3x − 2y + 5z − 7 = 0,
– A le point de coordonnées (6 ; −5 ; 11),
– H son projeté orthogonal sur le plan (P).
Soit enfin \vec{u} le vecteur de coordonnées (3 ; −2 ; 5).
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
\overrightarrow{\mathrm{AH}} et \vec{u} sont orthogonaux.
La distance du point A au plan (P) est de 12,3.
Les coordonnées de H sont (0 ; −1 ; 1).
Score : .. /20
Commentaire
• Le point de coordonnées (0 ; −1 ; 1) appartient au plan (P) car :
3 × 0 − 2 × (−1) + 5 × 1 − 7 = 0.
Appelons ce point K, alors \overrightarrow{\mathrm{AK}} a pour coordonnées (−6 ; 4 ; −10). \vec{u}(3\,;\,-2\,;\,5) est un vecteur normal au plan (P).
On remarque que \overrightarrow{\mathrm{AK}}=-2\vec{u}, donc \overrightarrow{\mathrm{AK}} est bien orthogonal au plan (P).
Par conséquent, K est le projeté orthogonal de A sur le plan (P).
On en déduit que K = H et donc que H a pour coordonnées (0 ; −1 ; 1).
• Les autres propositions sont fausses.
Comme \overrightarrow{\mathrm{AH}}=-2\vec{u},\,\overrightarrow{\mathrm{AH}} et \vec{u} sont colinéaires.
La distance de A au plan P est :
d=\frac{3\times6-2\times(-5)+5\times{11}-7}{\sqrt{9+4+25}}=\frac{76}{\sqrt{38}}=2\sqrt{38}.
Or 2\sqrt{38}\neq{12,3} (12,3 est seulement une valeur approchée à 10−1 près de la distance d).
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