Reconnaître une loi binomiale

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Tests
• On considère une expérience aléatoire E et un événement A lié à E, de probabilité non nulle, avec P(A) = p.
On appelle succès, la réalisation de A et échec, celle de \overline{A}
• Soit Y, la variable aléatoire qui prend la valeur 1, si A est réalisé au cours de l'expérience, et la valeur 0, si A n'est pas réalisé. La variable aléatoire Y ainsi définie est appelée variable de Bernoulli. La loi de Y est alors :
Y
0
1
 
P
1 − p
p
1

On a aussi : E(Y) = p et V(Y) = p − p 2 = p(1 − p) = pq avec q = 1 − p.
On réalise ensuite le schéma de Bernoulli, c'est-à-dire qu'on répète n fois l'expérience E dans des conditions identiques et de manière indépendante.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès au cours des n répétitions, alors X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p).
On a alors : \begin{cases} X(\Omega)=\{0,1,2,3,\ldots,n\} \tabularnewline P(X=k)=\left(\begin{matrix} n\tabularnewline k\end{matrix}\right)\,p^{k}q^{n-k}\end{cases}  avec q = 1 − p.
C'est-à-dire :
X
0
1
2
\cdots
k
\cdots
n
 
P
qn
npqn−1  
\left( \begin{matrix} n\tabularnewline 2 \end{matrix}\right)p^{2}q^{n-2}
\cdots
\left(\begin{matrix}n\tabularnewline k \end{matrix}\right)p^{k}q^{n-k}
\cdots
pn
1

Remarque
\sum\limits^{n}_{k=0}\,p_{i}=\sum\limits^{n}_{k=0}\left(\begin{matrix}n\tabularnewline k \end{matrix}\right)p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1^{n}=1 ;  on retrouve la formule du binôme de Newton.
On a de plus : E(X) = np et V(X) = npq.
En résumé
Lorsque l'on a une variable aléatoire X qui compte le nombre de réalisations de A, avec P(A) = p (p est non nul), au cours de n répétitions indépendantes, alors on sait que X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p).
Test n°1Test n°2Test n°3
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