Résoudre un système d'équations du premier degré à deux inconnues

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Tests
Il y a deux méthodes : par substitution ou par addition.
• Si l'une des inconnues possède un coefficient égal à 1 ou −1, il est préférable d'utiliser la méthode par substitution.
Dans l'une des équations, on écrit l'inconnue dont le coefficient est 1 ou −1 en fonction de l'autre, puis on substitue cette écriture à l'inconnue de la seconde équation.
Exemple
Dans le système \left\{ {\begin{array}{l} {x + 2y = 3} \\ {2x + 3y = 4} \\ \end{array} } \right., on exprime x en fonction de y dans la première équation et on obtient le système équivalent : \left\{ {\begin{array}{l} {x = 3 - 2y} \\ {2x + 3y = 4} \\ \end{array} } \right..
On remplace ensuite x par 3 - 2y dans la seconde équation, ce qui donne le système :
\left\{ {\begin{array}{l} {x = 3 - 2y} \\ {2(3 - 2y) + 3y = 4} \\ \end{array} } \right. qui équivaut à \left\{ {\begin{array}{l} {x = 3 - 2y} \\ { - y + 6 = 4} \\ \end{array} } \right., soit encore à \left\{ {\begin{array}{l} {x = 3 - 4 = - 1} \\ {y = 6 - 4 = 2} \\ \end{array} } \right..
On obtient ainsi le couple solution : S = \{ ( - 1\,;\; 2)\}.
• Si les coefficients des inconnues sont différents de 1 ou de −1, pour éviter l'apparition d'écritures fractionnaires, on utilise la méthode par addition.
Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l'une des inconnues, en multipliant les équations par des facteurs bien choisis. En additionnant membre à membre les deux équations transformées, on obtient une équation à une seule inconnue que l'on peut résoudre. On utilise alors ce résultat pour résoudre l'autre équation.
Exemple
Dans le système \left\{ {\begin{array}{l} {2x + 3y = 7} \\ {3x - 2y = 4} \\ \end{array} } \right., on multiplie les termes de la première équation par 2 et ceux de la seconde par 3 et on obtient le système équivalent : \left\{ {\begin{array}{l} {4x + 6y = 14} \\ {9x - 6y = 12} \\ \end{array} } \right..
On additionne membre à membre les deux équations et on remplace la seconde équation du système par le résultat ; on obtient le système équivalent : \left\{ {\begin{array}{l} {4x + 6y = 14} \\ {13x = 26} \\ \end{array} } \right., soit encore \left\{ {\begin{array}{l} {8 + 6y = 14} \\ {x = 2} \\ \end{array} } \right. ou \left\{ {\begin{array}{l} {y = (14 - 8) \div 6 = 1} \\ {x = 2} \\ \end{array} } \right..
On en déduit le couple solution : S = \{ (2\,;\; 1)\}.
• Un système peut n'avoir aucune solution ou encore une infinité de solutions.
Soit le système : \left\{ {\begin{array}{l} {ax + by = c} \\ {a'x + b'y = c'} \\ \end{array} } \right.. Si les coefficients de x et de y sont proportionnels, c'est-à-dire si ab' = a'b, ce système a une infinité de solutions ou pas de solution du tout :
– si de plus ac' \ne a'c, alors le sysème n'a pas de solution ;
– si ac' = a'c (les coefficients des deux équations sont proportionnels), alors le système a une infinité de solutions.
Test n°1Test n°2Test n°3
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