Il y a deux méthodes : par substitution ou par addition.

• Si l'une des inconnues possède un coefficient égal à 1 ou −1, il est préférable d'utiliser la méthode par substitution.
Dans l'une des équations, on écrit l'inconnue dont le coefficient est 1 ou −1 en fonction de l'autre, puis on substitue cette écriture à l'inconnue de la seconde équation.

Exemple

Dans le système , on exprime x en fonction de y dans la première équation et on obtient le système équivalent : .
On remplace ensuite x par dans la seconde équation, ce qui donne le système :
qui équivaut à , soit encore à .
On obtient ainsi le couple solution : .

• Si les coefficients des inconnues sont différents de 1 ou de −1, pour éviter l'apparition d'écritures fractionnaires, on utilise la méthode par addition.
Cette méthode consiste à faire apparaître des coefficients opposés pour l'une des inconnues, en multipliant les équations par des facteurs bien choisis. En additionnant membre à membre les deux équations transformées, on obtient une équation à une seule inconnue que l'on peut résoudre. On utilise alors ce résultat pour résoudre l'autre équation.

Exemple

Dans le système , on multiplie les termes de la première équation par 2 et ceux de la seconde par 3 et on obtient le système équivalent : .
On additionne membre à membre les deux équations et on remplace la seconde équation du système par le résultat ; on obtient le système équivalent : , soit encore ou .
On en déduit le couple solution : .

• Un système peut n'avoir aucune solution ou encore une infinité de solutions.
Soit le système : . Si les coefficients de x et de y sont proportionnels, c'est-à-dire si , ce système a une infinité de solutions ou pas de solution du tout :
– si de plus , alors le sysème n'a pas de solution ;
– si (les coefficients des deux équations sont proportionnels), alors le système a une infinité de solutions.
Test n°1Test n°2Test n°3