Résoudre une équation ou une inéquation comportant des valeurs absolues

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Tests

• Pour résoudre une équation comportant des valeurs absolues, on utilise le fait que deux nombres opposés ont la même valeur absolue.
Pour $A \ge 0$ , | X| = A

équivaut à X = A

.
Par exemple, | x - 2| = 3

équivaut à x - 2 = 3

.
On en déduit : x = 5 ou x = −1. Soit $S = \{ - 1\,;\; 5\}$ .
Graphiquement, cela revient à chercher les deux points de la droite graduée placés à 3 unités du point d'abscisse 2.

• Pour résoudre une inéquation comportant des valeurs absolues, on distingue deux cas.

• Pour ${A} \ge 0$ , $| X| \le {A}$ équivaut à ${- A} \le {X} \le {A}$ .
Par exemple, $| x + 3| \le 2$ équivaut à $- 2 \le x + 3 \le 2$ . Soit ${- 5} \le {x} \le {- 1}$ . D'où $S = [ - 5\,;\; - 1]$ .
Graphiquement, on cherche les points de la droite graduée placés à moins de deux unités du point d'abscisse −3.

• Pour $A \ge 0$ , $| X| \ge A$ équivaut à $X \le - A$ ou $X \ge A$
Par exemple, $| x + 3| \ge 2$ équivaut à $x + 3 \le - 2$ ou $x + 3 \ge 2$ . Soit $x \le - 5$ ou $x \ge - 1$ .
D'où $S = ] - \infty\,;\; - 5] \cup [ - 1\,;\; + \infty [$ .
Graphiquement, on cherche les points de la droite graduée placés à plus de deux unités du point d'abscisse −3.
Test n°1

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