Utiliser les nombres complexes en géométrie

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Tests

• Les nombres complexes constituent un outil privilégié pour résoudre de manière simple de nombreux problèmes de géométrie.
Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct, l'image du nombre complexe z = a + i b est le point M de coordonnées (a ; b). On dit alors que z est l'affixe du point M.
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ est le nombre complexe $z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}$ .
L'affixe du milieu du segment [AB] est la demi-somme des affixes des points A et B.

• Il est impératif de connaître aussi :
– le lien entre les distances et les modules : $\mathrm{AB}=| z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}|$ ;
– le lien entre les angles et les arguments :
$(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\,\overrightarrow{\mathrm{AC}})=\mathrm{arg}\left(\frac{z_{\mathrm{C}}-z_{\mathrm{A}}}{z_{\mathrm{B}}-z_{\mathrm{A}}}\right)\,(2\pi)$ .

• Chacune des trois transformations suivantes a une expression complexe :
– la translation de vecteur $\mathrm{\vec{u}}$ d'affixe b a pour expression complexe z' = z + b ;
– la rotation de centre Ω, d'affixe ω et d'angle θ a pour expression complexe : ${z^\prime}-\omega=e^{\mathrm{i}\theta}(z-\omega)$ ;
– soit k un nombre réel non nul ; l'homothétie de centre Ω, d'affixe ω et de rapport k a pour expression complexe : ${z^\prime}-\omega=k(z-\omega).$
Test n°1 Test n°2

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