Utiliser les nombres complexes en géométrie

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Fiche
Tests
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?
Cochez la bonne réponse.
La rotation dont le centre a pour affixe i et pour angle \frac{\pi}{2} a pour écriture complexe : z^{\prime}=\mathrm{i}z+\mathrm{i}+1.
z^{\prime}=(1+\mathrm{i})z est l'écriture complexe d'une homothétie de rapport \sqrt{2}.
Soit l'application qui, à tout point M d' affixe z non nulle, associe le point M' d'affixe z' telle que z^{\prime}=\frac{1}{z}. L'ensemble des points M confondus avec leur image est un cercle.
Score : .. /20
Commentaire
• La rotation dont le centre a pour affixe i et pour angle \frac{\pi}{2} a pour écriture complexe : z^{\prime}-\mathrm{i}=\mathrm{i}(z-\mathrm{i}) soit z^{\prime}=\mathrm{i}z+\mathrm{i}+1.
• Les autres propositions sont fausses.
z^{\prime}=(1+\mathrm{i})z n'est pas l'écriture complexe d'une homothétie car 1+\mathrm{i} n'est pas un réel. Or, d'après le cours, l'écriture complexe associée à l'homothétie de centre O et de rapport k (où k désigne un réel non nul) est z' = kz.
Un point M d'affixe non nulle est confondu avec son image si et seulement si z' = z soit z=\frac{1}{z}. Or cette égalité équivaut à z2 = 1 qui admet deux solutions z = 1 ou z = −1.
Il existe donc seulement deux points invariants par l'application considérée.
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