Utiliser les propriétés de l'intégrale

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Tests
• L'intégrale est linéaire.
Soit α et β deux nombres réels et f et g deux fonctions continues sur [a ; b], alors : \int^{b}_{a}[\alpha\,{f(t)}+\beta\,{g(t)}]\mathrm{d}t=\alpha{\int^{b}_{a}}f(t)\,\mathrm{d}t+\beta{\int^{b}_{a}}g(t)\,\mathrm{d}t.
L'intégrale de la somme de deux fonctions est donc la somme de leurs intégrales.
Attention, cette propriété est généralement fausse pour un produit ou un quotient.
• L'intégrale vérifie la relation de Chasles :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b et c trois réels appartenant à I, alors : \int^{b}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t+\int^{c}_{b}f(t)\,\mathrm{d}t=\int^{c}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t.
• Pour déterminer le signe d'une intégrale ou pour comparer deux intégrales, il est la plupart du temps inutile de les calculer, il suffit de s'appuyer sur le théorème de positivité et le théorème de comparaison des intégrales :
– si une fonction f est continue et positive sur un intervalle [a ; b], avec a\leq{b}, alors \int^{b}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t\geq{0} ;
– si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b], avec a\leq{b}, et si f\leq{g}, alors \int^{b}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t\leq{\int^{b}_{a}}g(t)\,\mathrm{d}t.
On peut ainsi encadrer \int^{b}_{a}f(t)\,\mathrm{d}t à partir d'un encadrement de f(t) sur l'intervalle [a ; b].
Test n°1Test n°2Test n°3
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