Utiliser les théorèmes d'opération sur les limites

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Tests
On désigne par l et l' deux réels et par f et g deux fonctions définies au voisinage de α.
Dans les tableaux suivants, « ? »  signifie que l'on ne peut pas conclure directement : il s'agit d'une « forme indéterminée »  (voir le paragraphe 3).
• Limite d'une somme
Si, en α, f a pour limite :
l
l
l
+\infty
+\infty
-\infty
si, en α, g a pour limite :
l'
+\infty
-\infty
+\infty
-\infty
-\infty
alors, en α, f + g a pour limite :
l + l'
+\infty
-\infty
+\infty
?
-\infty

• Limite d'un produit
Si, en α, f a pour limite :
l
l\neq{0}
l\neq{0}
0
+\infty
+\infty
\infty
si, en α, g a pour limite :
l'
+\infty
\infty
\begin{matrix} +\infty\tabularnewline \mathrm{ou}-\infty \end{matrix}
+\infty
\infty
\infty
alors, en α, f × g a pour limite :
ll'
\begin{matrix} \mathrm{si}\,l>0,+\infty\tabularnewline \mathrm{si}\,l<0,-\infty \end{matrix}
\begin{matrix} \mathrm{si}\,l>0,-\infty\tabularnewline \mathrm{si}\,l<0,+\infty \end{matrix}
?
+\infty
\infty
+\infty

• Limite d'un quotient
Si, en \alpha,\,g a pour limite :
l\neq{0}
0
+\infty\,\mathrm{ou}-\infty
alors, en \alpha,\frac{1}{g} a pour limite :
\frac{1}{l}
\begin{matrix}\mathrm{en}\,0^{+},\,+\infty\tabularnewline \mathrm{en}\,0^{-},-\infty \end{matrix}
0

Et on se ramène au cas précédent pour \frac{f}{g}\,\mathrm{car}\,\frac{f}{g}=f\times{\frac{1}{g}}.
• Limite d'une fonction composée
Si \alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3} désignent +\infty ou -\infty ou des nombres réels et si u et v désignent deux fonctions telles que : \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{1}} }\,u(x)=\alpha_{2} et \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{2}} }\,v(x)=\alpha_{3}, alors \mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{1}} }\,v\,o\,u(x)=\alpha_{3}.
Test n°1Test n°2Test n°3
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