Utiliser les théorèmes d'opération sur les limites

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Tests

On désigne par l et l' deux réels et par f et g deux fonctions définies au voisinage de α.
Dans les tableaux suivants, « ? » signifie que l'on ne peut pas conclure directement : il s'agit d'une « forme indéterminée » (voir le paragraphe 3).

• Limite d'une somme

Si, en α, f a pour limite :	l	l	l	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$
si, en α, g a pour limite :	l'	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
alors, en α, f + g a pour limite :	l + l'	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	?	$-\infty$

• Limite d'un produit

Si, en α, f a pour limite :	l	$l\neq{0}$	$l\neq{0}$	0	+ $\infty$	+ $\infty$	− $\infty$
si, en α, g a pour limite :	l'	+ $\infty$	− $\infty$	$\begin{matrix} +\infty\tabularnewline \mathrm{ou}-\infty \end{matrix}$	+ $\infty$	− $\infty$	− $\infty$
alors, en α, f × g a pour limite :	ll'	$\begin{matrix} \mathrm{si}\,l>0,+\infty\tabularnewline \mathrm{si}\,l<0,-\infty \end{matrix}$	$\begin{matrix} \mathrm{si}\,l>0,-\infty\tabularnewline \mathrm{si}\,l<0,+\infty \end{matrix}$	?	+ $\infty$	− $\infty$	+ $\infty$

• Limite d'un quotient

Si, en $\alpha,\,g$ a pour limite :	$l\neq{0}$	0	$+\infty\,\mathrm{ou}-\infty$
alors, en $\alpha,\frac{1}{g}$ a pour limite :	$\frac{1}{l}$	$\begin{matrix}\mathrm{en}\,0^{+},\,+\infty\tabularnewline \mathrm{en}\,0^{-},-\infty \end{matrix}$	0

Et on se ramène au cas précédent pour $\frac{f}{g}\,\mathrm{car}\,\frac{f}{g}=f\times{\frac{1}{g}}.$

• Limite d'une fonction composée
Si $\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3}$ désignent $+\infty$ ou $-\infty$ ou des nombres réels et si u et v désignent deux fonctions telles que : $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{1}} }\,u(x)=\alpha_{2}$ et $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{2}} }\,v(x)=\alpha_{3},$ alors $\mathop {\lim}\limits_{x \to {\alpha_{1}} }\,v\,o\,u(x)=\alpha_{3}.$
Test n°1 Test n°2 Test n°3

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