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Enseignement Les épreuves du CRPE

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Sujet

Exercice 1 (3 points)

Dans cet exercice, cinq affirmations sont proposées. Pour chacune, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, puis justifier la réponse.
Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point.
Une réponse fausse n'enlève pas de point.

1. Soient a et b deux nombres strictement positifs.
Affirmation 1 : « $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$ »

2. Soit a un nombre strictement supérieur à 1.
Affirmation 2 : « Si les longueurs des côtés d'un triangle sont a, $\frac{1}{2}$ (a² − 1) et $\frac{1}{2}$ (a² + 1), alors ce triangle est rectangle. »

3. On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer deux fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
Affirmation 3 : « La probabilité d'obtenir pile à l'un des deux lancers et face à l'autre est $\frac{1}{3}$ . »

4. Un article a le même prix dans deux magasins A et B.
Dans le magasin A, le prix de l'article subit successivement une baisse de 20 % puis une hausse de 20 %.
Dans le magasin B, le prix de l'article subit successivement une hausse de 20 % puis une baisse de 20 %.
Affirmation 4 : « À la suite de ces modifications de prix, il est plus rentable d'acheter alors l'article dans le magasin A que dans le magasin B. »

5. La longueur du côté d'un carré augmente de 5 %.
Affirmation 5 : « Le périmètre du carré augmente de 20 %. »

Exercice 2 (5 points)

On justifiera toutes les réponses.

On appelle « fraction égyptienne » toute fraction de la forme $\frac{1}{n}$ , n désignant un nombre entier naturel non nul. Dans l'Égypte ancienne, on n'écrivait les nombres rationnels positifs inférieurs à 1 que sous la forme de sommes de « fractions égyptiennes » toutes différentes.
Par exemple, $\frac{25}{28}$ peut s'écrire $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{7}$ .
Le but du problème est de présenter quelques méthodes de décomposition de nombres rationnels en somme de « fractions égyptiennes » toutes différentes.

Partie A : Exemples

1. Calculer la somme des six « fractions égyptiennes » $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{32}$ et $\frac{1}{64}$ .

2. Décomposer $\frac{5}{8}$ en somme de « fractions égyptiennes » toutes différentes, dont les dénominateurs sont tous des puissances de 2.

Partie B : Présentation d'une méthode de décomposition dans un cas particulier

On s'intéresse au cas où la fraction à décomposer a un numérateur égal à 2 et un dénominateur égal au produit de deux nombres entiers naturels impairs p et q.

1. Démontrer la formule $\frac{2}{pq}=\frac{1}{p\left(\frac{p+q}{2}\right)}+\frac{1}{q\left(\frac{p+q}{2}\right)}$ .

2. Justifier que les dénominateurs des fractions précédentes sont des nombres entiers naturels.

3. En utilisant la formule établie à la question 1., trouver deux décompositions différentes de $\frac{2}{15}$ en somme de « fractions égyptiennes » différentes.

4. Soit n un nombre entier naturel non nul. Donner une décomposition de la fraction $\frac{2}{2n+1}$ en somme de deux « fractions égyptiennes » différentes.

Partie C : « Algorithme glouton » de Fibonacci

En 1201, Léonard de Pise (1175-1250), dit « Fibonacci », prouva que tout nombre rationnel compris entre 0 et 1 peut s'écrire sous la forme d'une somme de « fractions égyptiennes » toutes différentes et proposa la méthode suivante pour obtenir une telle décomposition :
« Soustraire à la fraction donnée la plus grande fraction égyptienne possible qui lui est inférieure, répéter l'opération avec la nouvelle fraction, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on obtienne 0. »

1. Appliquer cet algorithme à $\frac{13}{81}$ et donner une décomposition de la fraction $\frac{13}{81}$ en somme de trois « fractions égyptiennes » toutes différentes.

2. Dans le papyrus Rhind (1650 av. J.-C.), exposé au British Museum, figure une des plus anciennes approximations du nombre π égale à $\frac{256}{81}$ (écriture moderne).

a) Écrire $\frac{256}{81}$ sous la forme d'une somme d'un entier naturel et d'une fraction comprise entre 0 et 1.

b) Proposer une écriture de l'approximation de π donnée dans le papyrus Rhind sous forme d'une somme d'un nombre entier naturel et de « fractions égyptiennes » toutes différentes.

Exercice 3 (4 points)

On justifiera toutes les réponses.

Un fabricant vend de la pâte d'amande dans un emballage cartonné ayant la forme d'un prisme droit dont la base est un triangle équilatéral (voir la figure ci-dessous).

x est la longueur d'un côté de la base triangulaire.
d est la hauteur de cette base triangulaire.
h est la hauteur du prisme droit.

Dans tout l'exercice, on exprime les longueurs en cm, les aires en cm² et les volumes en cm³.

Questions préalables

1. Représenter sur la copie un patron de l'emballage pour les valeurs x = 3 cm et h = 6 cm.

2. On désigne par A l'aire du triangle équilatéral de base. Montrer que $A=\frac{\sqrt3}{4}x^2$ .

Dans la suite du problème, les emballages ont un volume égal à 100 cm³.

3. a) Donner l'expression de h en fonction de x.

b) En déduire que l'aire S du patron de cet emballage, exprimée en cm², est donnée par la formule : $S=\frac{400\sqrt3}{x}+\frac{\sqrt3}{2}x^2$ .

4. On a construit une feuille de calcul, reproduite ci-après, donnant les valeurs de S en fonction des valeurs de x, ainsi que la représentation graphique de S en fonction de x.

a) Donner une méthode permettant de remplir la colonne A (de la ligne 2 à 35) en utilisant la fonction de « recopie vers le bas ».

b) Donner une formule qui, entrée dans la cellule B2, puis recopiée vers le bas, permet de compléter la colonne B (de B3 à B35).
Indication : pour calculer $A=\sqrt3$ dans le tableur, on fait appel à la commande : « racine(3) ».

Le fabricant souhaite minimiser la quantité de carton utilisée.

c) En utilisant les résultats de la feuille de calcul reproduite ci-après, donner à 0,5 cm près la valeur de x qui minimise la quantité de carton utilisée pour l'emballage.

d) Calculer la hauteur de l'emballage pour cette valeur approchée de x.

FEUILLE DE CALCUL

Corrigé

Exercice 1

Dans cet exercice, il est demandé au candidat d'indiquer, en justifiant, si des affirmations sont vraies ou fausses. Certaines de ces affirmations sont contextualisées ; il faut donc bien prendre le temps de lire attentivement les indications fournies.
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas : résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé ou démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.

1. Affirmation 1 : a et b étant deux nombres positifs, $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$ .
Cette affirmation porte sur un cas général, si vous n'avez aucune idée de la valeur de vérité de cette proposition, faites quelques essais numériques, en les choisissant de manière à ce que les calculs soient simples.
On observe que : $\sqrt9+\sqrt4=3+2=5$ . Or $\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\ne 5$ car $5^2\ne 13$ .
On a donc trouvé deux nombres dont la somme des racines carrées n'est pas égale à la racine carrée de la somme.
L'affirmation 1 est fausse.

2. Affirmation 2 : Si les longueurs des côtés d'un triangle sont a, $\frac{1}{2}$ (a² − 1) et $\frac{1}{2}$ (a² + 1), alors ce triangle est rectangle.
Pour se prononcer sur le fait qu'un triangle, dont les longueurs des trois côtés sont données, est rectangle ou non, on sait qu'il faut examiner si la somme des carrés de deux des longueurs est égale au carré de la troisième.
Lorsque tel est le cas, la réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure que le triangle est rectangle ; si tel n'est pas le cas, la contraposée du théorème permet de répondre par la négative.
Rappel : La contraposée d'une proposition affirmant que : « si A, alors B » dit que : « si pas B, alors pas A » (en remplaçant A et B par des phrases de son choix). Lorsqu'une proposition est vraie, sa contraposée aussi (toujours).
Les carrés des longueurs données sont : a², $\left[\frac{1}{2}\left(a^2-1\right)\right]^2=\frac{1}{4}\left(a^4-2a^2+1\right)$ et $\left[\frac{1}{2}\left(a^2-1\right)\right]^2=\frac{1}{4}\left(a^4+2a^2+1\right)$ .
On observe que : $\frac{1}{4}\left(a^4-2a^2+1\right)+a^2=\frac{1}{4}\left(a^4-2a^2+1+4a2\right)=\frac{1}{4}\left(a^4+2a^2+1\right)$ .
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle donné est rectangle.
Remarque : L'énoncé précise que a est supérieur à 1 afin que les nombres donnés soient bien tous positifs et puissent donc désigner des longueurs…
L'affirmation 2 est vraie.

3. Affirmation 3 : La probabilité d'obtenir pile à l'un des lancers et face à l'autre est $\frac{1}{3}$ .
Le fait que la pièce soit réputée parfaitement équilibrée implique que les issues « pile » (P) ou « face » (F) lors d'un lancer sont équiprobables.
Si l'on lance la pièce a deux reprises, les issues possibles sont : PP, PF, FP et FF et elles sont équiprobables.
L'événement « obtenir pile à un lancer et face à l'autre » (quel que soit l'ordre) est donc donné par la formule : $\frac{\mathrm{nombre\ d'issues\ favorables}}{\mathrm{nombre\ total\ d'issues}}$ , soit $\frac{2}{4}$ , c'est-à-dire $\frac{1}{2}$ .
L'affirmation 3 est fausse.

4. Affirmation 4 : Il est plus rentable d'acheter l'article dans le magasin A que dans le magasin B.
Proposer une baisse de prix de 20 % revient à multiplier les prix par 0,8 car 0,8 = $\frac{100}{100}-\frac{20}{100}$ .
De même, augmenter les prix de 20 % revient à multiplier les prix par 1,2.
La commutativité de la multiplication permet d'affirmer que multiplier un même nombre par 0,8 puis le résultat par 1,2 revient à multiplier ce nombre par 1,2 puis le résultat par 0,8 (dans les deux cas, on multiplie le prix initial par 0,96). L'article ayant le même prix dans les magasins A et B avant baisse et augmentation (respectivement augmentation et baisse), il revient donc au même de l'acheter dans le magasin A ou B après baisse et augmentation (respectivement augmentation et baisse).
L'affirmation 4 est fausse.

5. Affirmation 5 : Si la longueur du côté d'un carré augmente de 5 %, alors le périmètre du carré augmente de 20 %.
Soit c la longueur du côté du carré considéré. Son périmètre est alors : p = 4c.
Si on augmente la longueur du carré de 5 %, cette longueur devient alors : 1,05c.
Le périmètre du carré ainsi obtenu est donc : 4 × 1,05c = 1,05 × 4c = 1,05p.
Le périmètre a donc, lui aussi, augmenté de 5 %.
L'affirmation 5 est fausse.

Exercice 2

Partie A : Exemples

1. Calculer $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}$ .
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}=\frac{32}{64}+\frac{16}{64}+\frac{8}{64}+\frac{4}{64}+\frac{2}{64}+\frac{1}{64}=\frac{32+16+8+4+2+1}{64}=\frac{63}{64}$

2. Décomposer $\frac{5}{8}$ en somme de fractions égyptiennes de dénominateur une puissances de 2.
Il faut avoir ici l'idée, induite par l'observation du calcul effectué précédemment, de décomposer le numérateur 5 en somme de puissances de 2.
5 = 4 + 1 d'où $\frac{5}{8}=\frac{4+1}{8}=\frac{4}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}$

Partie B : Méthode de décomposition dans un cas particulier

1. Montrons que : $\frac{2}{pq}=\frac{1}{p\left(\frac{p+q}{2}\right)}+\frac{1}{q\left(\frac{p+q}{2}\right)}$ .
Lorsqu'il faut démontrer une égalité, on part du membre le plus complexe, que l'on réduit et simplifie jusqu'à obtenir le membre le plus simple. Si les deux membres de l'égalité sont complexes, on les réduit et simplifie séparément, jusqu'à converger vers un résultat commun.
$\frac{1}{p\left(\frac{p+q}{2}\right)}+\frac{1}{q\left(\frac{p+q}{2}\right)}=\frac{q}{qp\left(\frac{p+q}{2}\right)}+\frac{p}{pq\left(\frac{p+q}{2}\right)}=\frac{p+q}{pq\left(\frac{p+q}{2}\right)}=\frac{p+q}{pq}\times\frac{2}{p+q}=\frac{2}{pq}$
Remarque : Diviser par un nombre, c'est multiplier par son inverse, donc diviser par $\frac{p+q}{2}$ revient à multiplier par $\frac{2}{p+q}$ .

2. Justifions que les dénominateurs des fractions précédentes sont des nombres entiers naturels.
On sait que p et q sont des nombres entiers naturels et que le produit de deux entiers est un entier. Il suffit donc de prouver que $\frac{pq}{2}$ est entier.
Sachant que p et q sont impairs, il existe deux nombres entiers n et m tels que : p = 2n + 1 et q = 2m + 1.
On a donc : $\frac{p+q}{2}=\frac{\left(2n+1\right)+\left(2m+1\right)}{2}=\frac{2n+2m+2}{2}=n+m+1$ et ce nombre est entier.
Les dénominateurs des fractions précédentes, tous produits de nombres entiers, sont donc entiers.

3. Décomposition de $\frac{2}{15}$ .
Écrivons deux décompositions de 15 comme produit de deux nombres impairs : 15 = 1 × 15 et 15 = 3 × 5.
On applique la formule trouvée en 1., successivement en considérant que p = 1 et q = 15, puis que : p = 3 et q = 5.
Si p = 1 et q = 15, il vient : $\frac{2}{15}=\frac{1}{1\left(\frac{1+15}{2}\right)}+\frac{1}{15\left(\frac{1+15}{2}\right)}=\frac{1}{8}+\frac{1}{120}$ ;
si p = 3 et q = 5, il vient : $\frac{2}{15}=\frac{1}{3\left(\frac{3+5}{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\frac{3+5}{2}\right)}=\frac{1}{12}+\frac{1}{20}$ .

4. Décomposition de $\frac{2}{2n+1}$ .
On applique la formule trouvée en 1. avec p = 1 et q = 2n + 1 (tous deux impairs).
Il vient : $\frac{2}{2n+1}=\frac{1}{1\left(\frac{1+2n+1}{2}\right)}+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\frac{1+2n+1}{2}\right)}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(n+1\right)}$ .

Remarque : Lorsque $n\ne0$ , ces deux fractions sont différentes car leurs dénominateurs le sont.

Partie C : « Algorithme glouton » de Fibonacci

1. Algorithme de Fibonacci appliqué à $\frac{13}{81}$ .
À numérateur constant, plus le dénominateur est petit, plus la fraction est grande (et vice versa). Cette observation permet de mener le raisonnement qui suit :
6 × 13 < 81 < 7 × 13 donc $\frac{1}{7}<\frac{13}{81}<\frac{1}{6}$ .
$\frac{13}{81}-\frac{1}{7}=\frac{13\times7}{81\times7}-\frac{81}{7\times81}=\frac{91}{567}-\frac{81}{567}=\frac{10}{567}$ .
56 × 10 < 567 < 57 × 10 donc $\frac{1}{57}<\frac{10}{567}<\frac{1}{56}$ .
$\frac{10}{567}-\frac{1}{57}=\frac{10}{7\times9\times9}-\frac{1}{3\times19}=\frac{10\times19}{567\times19}-\frac{27\times7}{7\times3\times9\times57}=\frac{190}{10773}-\frac{189}{10773}=\frac{1}{10773}$ .
On a donc : $\frac{13}{81}=\frac{1}{7}+\frac{1}{57}+\frac{1}{10773}$ .

2. a) Décomposition de $\frac{256}{81}$ comme somme d'un entier et d'une fraction comprise entre 0 et 1.
256 = 3 × 81 + 13 donc : $\frac{256}{81}=3+\frac{13}{81}$ et $0<\frac{13}{81}<1$ .

b) Décomposition de $\frac{256}{81}$ comme somme d'un entier et de fractions égyptiennes toutes différentes.
Les réponses données aux questions 1. et 2. a) permettent d'écrire que :
$\frac{256}{81}=3+\frac{1}{7}+\frac{1}{57}+\frac{1}{10773}$ .
Il y a d'autres décompositions de $\frac{13}{81}$ possibles… mais la façon la plus opportuniste en terme de gain de temps est de se servir des résultats déjà obtenus.

Exercice 3

1. Patron de l'emballage pour x = 3 cm et h = 6 cm.

2. Aire A du triangle de base
Dans un triangle équilatéral de côté x, la hauteur vaut : $d=x\frac{\sqrt3}{2}$ .
Si vous ne connaissez pas ce résultat, il faut le rétablir en utilisant le théorème de Pythagore et en observant que le pied de la hauteur (issue de n'importe lequel des sommets du triangle équilatéral) est le milieu du côté opposé.
On a donc : $A=\frac{x\times{d}}{2}=\frac{x\times{x}\frac{\sqrt3}{2}}{2}=x^2\frac{\sqrt3}{4}$ .
Gardez bien présente à l'esprit l'information donnée par l'énoncé : « Dans la suite du problème, les emballages ont un volume égal à 100 cm³. »

3. a) Expression de h en fonction de x.
Le volume du prisme droit est égal à A × h, A étant l'aire de la base et h la hauteur du prisme. Or, ce volume vaut 100 cm³.
On a donc : $100=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2\times{h}$ d'après la question précédente, d'où : $h=\frac{100}{\frac{\sqrt{3}x^2}{4}}=100\times\frac{4}{\sqrt{3}x^2}=\frac{400}{\sqrt{3}x^2}$ .

b) Expression de l'aire S du patron.
Le patron de l'emballage est constitué de deux triangles équilatéraux de côté x et de trois rectangles de dimensions h et x.
On a, par conséquent : S = 2A + 3hx et donc : $S=2\times\frac{\sqrt3}{4}x^2+3\times{x}\times\frac{400}{\sqrt{3}x^2}=\frac{\sqrt3}{2}x^2+\frac{400\sqrt3}{x}$ .

4. a) Formule pour la colonne A.
La colonne A indique les valeurs prises par x avec un pas de 0,5. Pour utiliser la fonction de recopie vers le bas, il suffit d'entrer la valeur « 0,5 » dans la cellule A2, puis d'entrer « =A2+0,5 » dans la cellule A3, que l'on peut recopier vers le bas jusqu'à la cellule A35.

b) Formule pour la colonne B.
Pour obtenir la colonne B à partir de la cellule B2, il faut taper dans celle-ci : « =400*racine(3)/A2+racine(3)*A2*A2/2 ».
On peut remplacer A2*A2 par A(accent circonflexe)2.

c) Valeur de x minimisant la quantité de carton utilisée.
On cherche le point de la courbe correspondant au minimum, puis on lit son abscisse pour obtenir la valeur de x correspondante :
On lit : $x\approx7,5\ \mathrm{cm}$ .

d) Valeur de h correspondant à la valeur approchée de x lue.
Comme $h=\frac{400}{\sqrt{3}x^2}$ , pour x = 7,5, on obtient : $h=\frac{400}{\sqrt{3}\times{7,5}^2}=\frac{400}{\sqrt3}\times\left(\frac{2}{15}\right)^2=\frac{64}{9\sqrt3}$ .
En l'absence de précisions, c'est la valeur exacte, simplifiée au maximum, qui est attendue.