Épreuve d'admissibilité, avril 2016, groupement académique 2

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Sujet

Première partie (13 points)
Ce problème porte sur l'utilisation d'un appareil photo numérique et étudie son fonctionnement.
L'appareil photo
Notations et vocabulaire utilisés dans tout le problème
  • L est la largeur de la scène photographiée ;
  • α est l'angle de champ (angle sous lequel la scène est vue) ;
  • l est la largeur du capteur numérique situé à l'arrière de l'appareil photo ;
  • D est la distance entre la scène photographiée et le capteur numérique ;
  • f, qui sera appelée focale de l'objectif, est la distance entre le capteur et le centre optique de l'objectif. C'est une caractéristique essentielle d'un objectif. Elle s'exprime généralement en millimètres (mm).
A. Lectures graphiques
Un photographe doit couvrir un spectacle théâtral.
Le graphique ci-dessous indique, pour son appareil, la relation entre la focale f de l'objectif et l'angle de champ α.
1. Du fond de la salle, il veut prendre une photo du spectacle avec un angle de champ α = 30°. Déterminer à l'aide du graphique à quelle focale cela correspond.
2. À l'aide du graphique, estimer à quel angle de champ correspond une focale de 100 mm.
3. Le photographe dispose d'un objectif permettant d'obtenir une focale comprise entre 55 mm et 200 mm. Quels angles de champ peut-il obtenir avec cet objectif ?
B. Prises de vue dans un théâtre
Formule fondamentale
La formule suivante, dans laquelle toutes les distances doivent être exprimées dans la même unité, est admise dans cette partie B. Elle sera démontrée dans la partie C.
\frac{D}{f}=\frac{L}{l}+1

1. 
On considère que le capteur de l'appareil a pour largeur l = 36 mm et que le photographe est placé à D = 12 m de la scène du théâtre au centre de la salle.
a) En utilisant la formule précédente, déterminer la largeur de la scène photographiée L qui correspond à une focale de 35 mm. Donner la valeur arrondie au dixième de mètre.
b) La scène du théâtre mesure 15 m de large. Quelles focales, en millimètres, le photographe peut-il utiliser pour que la largeur de la scène photographiée soit au moins aussi grande que la largeur de la scène du théâtre ?
2. 
L'affirmation « Si on est placé deux fois plus loin de la scène, il faut une focale deux fois plus longue pour photographier la même largeur de scène. » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
C. Étude théorique
Le but de cette partie est de démontrer la formule fondamentale utilisée dans la partie B.
On schématise la situation par la figure ci-dessous dans laquelle les droites (AA'), (BB') et (HK) sont concourantes en C.
1. 
À l'aide des informations portées sur la figure :
a) Justifier que les droites (AH) et (A'K) sont parallèles.
b) Démontrer que la droite (HK) est un axe de symétrie de la figure.
2. Justifier l'égalité : \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CK}}=\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{A'K}}.
3. 
En déduire la relation : \frac{D}{f}=\frac{L}{l}+1.
Deuxième partie (13 points)

Exercice 1
Quatre-vingts archers d'un club de tir à l'arc A ont participé à un championnat. Le nombre de points obtenus par chaque archer du club est donné par le diagramme ci-dessous.
1. 
Répondre à l'aide du diagramme précédent aux questions suivantes.
a) Combien d'archers ont gagné exactement six points lors de ce championnat ?
b) Combien d'archers ont gagné trois points ou plus lors de ce championnat ?
c) Quel est le score médian des archers du club A ?
2. 
Le club de tir à l'arc voisin B a aussi participé à ce championnat. Voici quelques données relatives aux résultats des archers de ce club :
  • Le score moyen des archers lors du championnat est 7 points.
  • Le score moyen des dix meilleurs archers lors du championnat est 9,9 points.
a) Comparer les résultats des deux clubs selon leurs scores moyens.
b) Comparer les résultats des deux clubs selon les scores de leurs dix meilleurs archers.
Exercice 2
Une règle du jeu
Le jeu se joue avec deux dés (dés cubiques non truqués, avec des faces numérotées de 1 à 6).
But de la partie : obtenir un cochon composé d'un corps, de deux yeux, de deux oreilles, de quatre pattes et d'une queue.
Début de la partie : chaque joueur lance un dé. Celui qui obtient le score le plus élevé commence à jouer, puis chaque joueur joue successivement, en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre.
Déroulement du jeu : lorsque c'est son tour, le joueur lance les deux dés (non truqués).
Si le joueur n'a pas encore pris le corps de son cochon, il doit obtenir un 6 au moins avec l'un des deux dés :
– s'il n'obtient pas de 6, il passe les dés au joueur suivant ;
– s'il obtient un 6 au moins, il prend le corps de son cochon et relance les dés.
Si le joueur a déjà pris le corps de son cochon, il doit obtenir un ou plusieurs 1 pour prendre les attributs du cochon :
– s'il n'obtient pas de 1, il passe les dés au joueur suivant ;
– s'il obtient un seul 1, il peut prendre un œil, une oreille ou une patte, puis il relance les dés ;
– s'il obtient deux 1, il peut prendre la queue du cochon ou deux autres attributs (oreilles, yeux, pattes) identiques ou non, puis il relance les dés.
Fin de la partie : le gagnant est le premier joueur à avoir complété son cochon.
(d'après MATh.en.JEANS, 2011-2012, collège Mermoz, Marly.)

1. Nicolas affirme : « Si dans la règle on remplaçait la valeur 1 par la valeur 2, on aurait deux fois moins de chances de gagner. »
A-t-il raison ? Justifier.
2. Sophie affirme : « J'ai deux fois plus de chance de pouvoir prendre une oreille que la queue ! »
A-t-elle raison ? Justifier.
3. Quelle est la probabilité qu'un joueur ne puisse pas prendre le corps du cochon ni lors de son premier tour de jeu ni lors de son deuxième tour de jeu ?
Exercice 3
Les télésièges sont équipés de véhicules fixés à un câble.
Sur un télésiège donné, tous les véhicules ont le même nombre de sièges, généralement compris entre deux et six.
Pour des raisons de sécurité, l'espacement minimal entre deux véhicules sur le câble dépend de la vitesse de déplacement des véhicules et du nombre de sièges par véhicule selon la formule ci-dessous, valable pour un nombre de sièges inférieur ou égal à six :
E=V\left(4+\frac{n}{2}\right)

où :
  • E désigne l'espacement minimal en mètres (m) ;
  • V désigne la vitesse des véhicules en mètres par seconde (m/s) ;
  • et n désigne le nombre de sièges par véhicule.
Une feuille de tableur a été créée en vue de calculer l'espacement minimal entre deux véhicules d'un télésiège :
Dans la suite de l'exercice on considère que l'espacement entre les véhicules est l'espacement minimal ainsi calculé.
1. La cellule E13 contient la valeur 18. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
2. Choisir une formule parmi celles données ci-dessous qui peut être saisie en E3 puis étirée vers le bas pour calculer l'ensemble des valeurs de la colonne E :
  • =$B3*(4+E$2/2)
  • =2*(4+4/2)
  • =12
  • =B3*(4+E2/2)
  • =B3*(4+4/2)
  • =$B$3*(4+$E$2/2)
3. Le débit D en nombre de personnes par heure est fourni par la formule :
D=3\,600\,n\,\frac{V}{E}
L'affirmation suivante est-elle cohérente avec les données de cet exercice ?
« Les télésièges fabriqués en 2010 sont généralement équipés de véhicules à quatre places, avec une vitesse de ligne de 2,3 m/s et peuvent, au maximum, atteindre un débit de 2 400 personnes par heure. »
Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Télésiège

4. Pour des véhicules à quatre sièges, une vitesse de 2 m/s fournira-t-elle un meilleur débit qu'une vitesse de 3 m/s ? (On se placera dans le cadre d'un espacement minimal dans chaque situation.)
5. Montrer que, dans le cas où on choisit l'espacement minimal en fonction de la vitesse, le débit peut s'exprimer uniquement en fonction du nombre de sièges par véhicule.
Cela confirme-t-il ou non le résultat trouvé à la question 4. ?
Exercice 4
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
Une réponse fausse n'enlève pas de points, une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. ABCD est un quadrilatère.
Affirmation : si ses diagonales sont perpendiculaires, alors c'est un losange.
2. À l'occasion des soldes, le prix d'un article est réduit de 25 %.
Avec sa carte de fidélité, Carine bénéficie de 20 % de réduction supplémentaire sur le prix réduit.
Affirmation : Carine bénéficie d'une réduction égale à 40 % du prix initial de l'article.
3. Dans une classe, le nombre de filles est exactement égal à \frac{3}{4} du nombre de garçons.
Affirmation : Exactement un quart des élèves de la classe sont des garçons.
4. Soient a et b deux nombres entiers.
On effectue la division euclidienne du nombre a par 7. On trouve comme reste 3.
On effectue la division euclidienne du nombre b par 7. On trouve comme reste 4.
Affirmation : le nombre ab est divisible par 7.
Troisième partie (14 points)
Les trois situations sont indépendantes.
Situation 1
Voici l'extrait d'un article sur les nombres décimaux et les fractions de l'ouvrage Le nombre au cycle 3, les apprentissages numériques, publié aux éditions Scérén.
« Pour permettre aux élèves de donner du sens à ces nouveaux nombres, et justifier leur introduction, il est nécessaire de proposer des activités qui leur permettent de prendre conscience que :
  • les nombres décimaux, et plus généralement les fractions, permettent de résoudre de nouveaux problèmes ;
[…]
  • certains raisonnements et certaines procédures correctes avec les nombres entiers peuvent ne plus l'être avec les nombres décimaux et les fractions. »
1. Existe-t-il des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction mais qui ne sont pas des nombres décimaux ? Si oui, donner un exemple d'un tel nombre, si non, justifier.
2. Existe-t-il des nombres décimaux qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction ? Si oui, donner un exemple d'un tel nombre, si non, justifier.
3. Donner un exemple de procédure ou de raisonnement correct avec les nombres entiers mais qui peut s'avérer erroné avec les nombres décimaux.
Situation 2
Un enseignant propose le problème suivant à ses élèves de cycle 3 :
Nicolas a acheté 2 kg de pommes. Il a payé 4 €. Léo a acheté la même variété de pommes dans le même magasin. Il a payé 5 €. Quelle masse de pommes a-t-il achetée ?

Proposer trois procédures, attendues d'élèves de cycle 3, pour résoudre ce problème, l'une au moins ne nécessitant pas le recours aux nombres décimaux.
Situation 3
Dans une classe de CM2, un professeur propose le travail suivant aux élèves.
Les productions de quatre élèves sont présentées ci-dessous.
Zoom
Production de Raphaëlle
Production de Raphaëlle
Zoom
Production de Terry
Production de Terry
Zoom
Production de Clément
Production de Clément
Zoom
Production de Cloé
Production de Cloé
1. Pour les productions de Terry et de Raphaëlle, citer trois compétences qui semblent acquises et analyser les éventuelles erreurs.
2. Pour les productions de Clément et de Cloé, analyser les procédures en pointant les éléments qui les rapprochent et ceux qui les séparent.

Corrigé

Remarque
Dans ce qui suit, le texte en italique constitue des commentaires, que nous espérons formateurs ; il n'a pas à figurer sur une copie.
Nous donnons systématiquement un titre à chaque question, titre repris du sujet ou synthétisant le contenu de la question. Ceci n'est pas attendu de la part du candidat le jour de l'épreuve (même si le correcteur appréciera la lisibilité accrue de la copie qui en résulte) ; toutefois, il est profitable pour le candidat de faire cet exercice au moins mentalement, car cela lui permet d'analyser les questions et donc de prendre conscience de leur objectif.
Première partie
A. Lectures graphiques
1. 
Focale pour un angle de champ de 30°
Remarque
On repère sur le graphique le point d'abscisse 30 et on lit son ordonnée.
Un angle de champ de 30° correspond à une focale d'environ 67 mm.
2. 
Angle de champ pour une focale de 100 mm
Remarque
On repère sur le graphique le point d'ordonnée 100 et on lit son abscisse.
Une focale de 100 mm correspond à un angle de champ d'environ 20°.
3. 
Angles de champ possibles pour une focale entre 55 mm et 200 mm
Remarque
On lit les abscisses des points d'ordonnées 55 et 200 sur le graphique, ce qui fournit les bornes de l'intervalle cherché.
Pour une focale comprise entre 55 mm et 200 mm, les angles de champ obtenus sont compris entre environ 10,5° et 36°.
B. Prises de vue dans un théâtre
1. 
a) Largeur de scène photographiée pour une focale de 35 mm
On utilise la formule pour l = 36 mm, D = 12 m = 12 000 mm et f = 35 mm.
Il vient : \frac{12\,000}{35}=\frac{L}{36}+1. D'où : \frac{L}{36}=\frac{12\,000}{35}-1 et donc : L = \frac{36\times 11\,965}{35}\approx 12 307.
La largeur de la scène photographiée est d'environ 12 307 mm, soit 12,3 m.
b) Focales à utiliser pour que la largeur de la scène soit supérieure ou égale à celle du théâtre
Calculons la focale correspondant à une largeur de scène photographiée de 15 m, soit 15 000 mm en utilisant la formule fournie : l = 36 mm, D = 12 m = 12 000 mm et L = 15 000.
Il vient :\frac{12\,000}{f}=\frac{15\,000}{36}+1=\frac{15\,036}{36}. D'où : f = \frac{12\,000\times 36}{15\,036}\approx 28,7.
La formule permet de dire que la focale décroît lorsque la largeur de scène photographiée croît, donc : pour que la largeur de scène photographiée soit d'au moins 15 m, il faut que le photographe utilise des focales inférieures ou égales à 28,7 mm.
2. Véracité de l'affirmation : « Si on est placé deux fois plus loin de la scène, il faut une focale deux fois plus longue pour photographier la même largeur de scène. »
Transformons la formule pour exprimer f en fonction de D ; on obtient : \frac{D}{f}=\frac{L+l}{l}. D'où : f = \frac{l}{L+l} D.
Pour un appareil donné et une largeur de scène donnée, le coefficient \frac{l}{L+l} est constant ; la focale f est donc proportionnelle à la distance D.
L'affirmation est donc vraie.
C. Étude théorique
1. 
a) Montrons que les droites (AH) et (A'K) sont parallèles.
Au vu des informations portées sur la figure, les droites (AH) et (A'K) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (HK), elles sont donc parallèles.
b) Montrons que (HK) est un axe de symétrie de la figure.
Au vu des informations portées sur la figure, H est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [A'B'] et (HK) est perpendiculaire à la fois à [AB] et à [A'B'] ; (HK) est donc la médiatrice, et par conséquent l'axe de symétrie, des segments [AB] et [A'B']. Le dernier point de la figure, C, étant situé sur la droite (HK), il est invariant par la symétrie d'axe (HK).
Conclusion : (HK) est un axe de symétrie de la figure.
2. Montrons que \frac{\mathbf{CH}}{\mathbf{CK}}=\frac{\mathbf{AH}}{\mathbf{A'K}}.
Les droites (AA') et (HK) sont sécantes en C et les droites (AH) et (A'K) sont parallèles ; d'après le théorème de Thalès, on a donc : \frac{\mathbf{CH}}{\mathbf{CK}}=\frac{\mathbf{AH}}{\mathbf{A'K}}.
3. Déduisons-en que \frac{D}{f}=\frac{L}{l}+1.
Si on remplace CH par D − CK, CK par f, A'K par \frac{l}{2} et AH par\frac{L}{2} dans la formule précédente, il vient : \frac{D-f}{f}=\frac{L}{l}. D'où : \frac{D}{f}-1=\frac{L}{l} et donc : \frac{D}{f}=\frac{L}{l}+1.
Deuxième partie
Exercice 1
1. 
Lecture du diagramme
Remarque
Il semble implicite que l'on ne s'intéresse qu'aux résultats des archers du club A, faute de quoi on ne saurait répondre.
a) Nombre d'archers ayant un score de 6 points
12 archers ont obtenu exactement 6 points lors du championnat.
b) Nombre d'archers ayant un score de 3 points ou plus
On a : 80 − 5 = 75.
75 archers ont obtenu au moins 3 points.
Remarque
On pouvait également faire la somme des effectifs correspondant à tous les scores supérieurs ou égaux à 3, mais il était plus rapide d'effectuer la différence :
nombre total d'archers du club − nombre d'archers ayant obtenu un score inférieur à 3.
c) Score médian
80 ÷ 2 = 40.
Score
2
3
5
6
7
8
9
10
Effectifs cumulés croissants
5
14
22
34
48
54
62
80

Si on considère les effectifs cumulés (croissants ou décroissants), le score médian se situe entre le score du 40e et du 41e archer. Ces deux archers ayant tous deux réalisé un score de 7 points, le score médian est de 7.
2. 
a) Comparaison des scores moyens des deux clubs
Le score moyen du club B est connu : 7 points. Calculons celui du club A :
\frac{5\times 2+ 9\times 3+ 8\times 5+ 12\times 6+ 14\times 7+ 6\times 8+ 8\times 9+ 18\times 10}{80}=\frac{547}{80} = 6,8375.
Le club B a un score moyen supérieur à celui du club A.
b) Comparaison des scores des dix meilleurs archers des deux clubs
Les dix meilleurs archers du club A ayant obtenu un score de 10, leur score moyen est 10 et est donc supérieur à celui du club B.
Exercice 2
1. Affirmation de Nicolas
Les dés n'étant pas truqués, toutes les faces ont la même probabilité d'être obtenues (soit : 1/6). Par conséquent, Nicolas a tort.
2. Affirmation de Sophie
Supposons que l'affirmation de Sophie se réfère à une situation où l'on a déjà le corps du cochon et que l'expérience consiste à lancer deux dés non truqués. Il s'agit donc d'une situation d'équiprobabilité et, pour chaque dé, la probabilité d'un événement est donnée par la formule :
\frac{nombre\,d'issues\,favorables}{nombre\,total\,d'issues}.
Pour pouvoir prendre une oreille, il faut obtenir au moins un « 1 » et pour pouvoir prendre la queue, il faut obtenir deux « 1 ».
Soit A l'événement « obtenir au moins un « 1 » » et B l'événement « obtenir deux « 1 » ».
L'événement contraire de A est : « ne pas obtenir de « 1 » »
Calculons la probabilité de A et de B.
p(A) = 1 − p(\bar{\mathrm{A}}) = 1 − \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = 1 − \frac{25}{36}\frac{11}{36}.
p(B) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}\frac{1}{36}.
Or \frac{11}{36}\neq 2 \times \frac{1}{36}.
Par conséquent, Sophie a tort.
3. Probabilité qu'un joueur ne puisse prendre le corps du cochon ni au premier, ni au second tour
La probabilité de n'obtenir aucun « 6 » lors d'un tirage est la même que celle de n'obtenir aucun « 1 », soit \frac{25}{36}. La probabilité de n'obtenir aucun « 6 » lors de deux tirages successifs est donc : \frac{25}{36} \times \frac{25}{36}, soit \frac{625}{1\,296}\approx 0,48.
Un joueur a une probabilité de \frac{\mathbf{625}}{\mathbf{1\,296}}, soit environ 48 %, de ne pouvoir prendre le corps du cochon ni au premier, ni au second tour.
Exercice 3
1. Interprétation de la valeur de la cellule E13
La valeur « 18 » de la cellule E13 signifie que, pour un télésiège à 4 sièges se déplaçant à une vitesse de 3 m/s, l'espacement minimal entre deux véhicules est de 18 m.
2. Choix de la formule devant être saisie en E3
=$B3*(4+E$2/2) est une formule qui permet de générer la colonne E.
Remarque
=B3*(4+4/2) est également une réponse possible.
3. Cohérence de l'affirmation avec les données de l'exercice
Pour un véhicule à quatre places se déplaçant à une vitesse de 2,3 m/s, d'après le tableau, la distance minimale entre deux véhicules est de 13,8 m (cellule E6).
Selon la formule donnée, le débit est alors :
3 600 × 4 × \frac{2,3}{13,8} = 2 400.
Donc l'affirmation est cohérente avec les données de l'exercice.
4. Comparaison du débit pour des vitesses de 2 m/s et 3 m/s
Pour des véhicules à 4 sièges et une vitesse de 2 m/s, la distance minimale est 12 m (cellule E3). Le débit est : 3 600 × 4 × \frac{2}{12} = 2 400.
Pour des véhicules à 4 sièges et une vitesse de 3 m/s, la distance minimale est 18 m (cellule E13). Le débit est : 3 600 × 4 × \frac{3}{18} = 2 400.
Les débits sont les mêmes dans les deux cas.
5. Expression du débit en fonction du nombre de sièges
On remplace E par son expression dans la formule du débit :
D = 3 600n\frac{V}{E}\frac{V}{V(4+\frac{n}{2})} = 3 600n\frac{1}{\frac{8+n}{2}}\frac{7\,200n}{8+n}.
Le débit s'exprime donc uniquement en fonction du nombre de sièges ; il ne dépend pas de la vitesse, ce qui confirme les résultats obtenus à la question précédente.
Exercice 4
Remarque
Pour justifier qu'une affirmation est fausse, on peut, selon les cas, résoudre l'exercice et trouver un résultat autre que celui qui est annoncé, fournir un contre-exemple, ou encore démontrer que la proposition est fausse en prouvant un résultat incompatible avec celui proposé.
Pour prouver qu'une proposition est vraie, on peut résoudre l'exercice et trouver le résultat annoncé, ou bien démontrer la vérité générale de la proposition, en utilisant des propriétés connues.
1. 
Pour qu'un quadrilatère soit un losange, il faut que ses diagonales soient perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
Illustration d'un contre-exemple :
Conclusion : l'affirmation 1 est fausse.
2. Pour réduire un prix de 25 %, on le multiplie par 0,75. Pour le réduire de 20 %, on le multiplie par 0,8. Les deux réductions cumulées reviennent à multiplier le prix par 0,75 × 0,8, soit 0,6, ce qui revient à une réduction de 40 %.
Conclusion : l'affirmation 2 est vraie.
3. 
1re réponse possible
Si le nombre des filles est égal à \frac{3}{4} de celui des garçons, cela signifie qu'il y a moins de filles que de garçons, autrement dit que les garçons représentent plus de la moitié des élèves. Les garçons ne peuvent donc représenter \frac{1}{4} des élèves de la classe.
Conclusion : l'affirmation 3 est fausse.
2e réponse possible (recherche de la solution)
Soit x le nombre de garçons. L'effectif total de la classe est donc : \frac{3}{4}x+x=\frac{7}{4}x.
Les garçons représentent donc : \frac{x}{\frac{7}{4}x}= \frac{1}{\frac{7}{4}}= \frac{4}{7} de l'effectif total.
Conclusion : l'affirmation 3 est fausse.
4. Si le reste de la division euclidienne de a par 7 est 3, cela signifie qu'il existe un entier q tel que : a = 7q + 3.
Si le reste de la division euclidienne de b par 7 est 4, cela signifie qu'il existe un entier q' tel que : b = 7q' + 4.
On a alors : a + b = 7q + 3 + 7q' + 4 = 7(q + q') + 7 = 7(q + q' + 1), ce qui prouve que a + b est divisible par 7.
Conclusion : l'affirmation 4 est vraie.
Troisième partie
Situation 1
1. Existence de nombres non décimaux ayant une écriture fractionnaire
\frac{1}{7} est un nombre écrit sous la forme d'une fraction, mais qui n'est pas un nombre décimal.
2. Existence de décimaux n'ayant pas d'écriture fractionnaire
Par définition, un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale, tout nombre décimal a donc des écritures fractionnaires.
3. Exemple de procédure ou de raisonnement correct avec les nombres entiers mais erroné avec les nombres décimaux
Pour comparer des nombres entiers, on peut comparer leur nombre de chiffres : le nombre entier le plus grand est celui qui s'écrit avec le plus de chiffres. Ce raisonnement est faux avec les nombres décimaux. Exemple : 2,748 < 12,3.
Situation 2
Trois procédures possibles au cycle 3 pour résoudre le problème
Procédure 1
Si avec 4 € on peut acheter 2 kg de pommes, alors avec 1 € on peut acheter 0,5 kg de pommes car 2 ÷ 4 = 0,5. Avec 5 € on achète 2,5 kg de pommes car 0,5 × 5 = 2,5.
Procédure 2
On observe que la masse de pommes achetées est la moitié du prix payé car 2 = 4 ÷ 2.
Comme 5 ÷ 2 = 2,5, on en conclut qu'avec 5 € on peut acheter 2,5 kg de pommes.
Procédure 3
Si avec 4 € on peut acheter 2 kg de pommes, alors avec 1 € on peut acheter 0,5 kg de pommes car 2 ÷ 4 = 0,5. Comme 5 € = 4 € + 1 €, avec 5 € on peut acheter 2 kg + 0,5 kg, soit 2,5 kg de pommes.
Situation 3
1. Trois compétences semblant acquises par Terry et Raphaëlle et analyse des erreurs
Terry sait :
  • dénombrer les petits triangles rectangles isocèles en organisant leur énumération ;
  • décomposer 43 en 4 × 10 + 3 ;
  • utiliser à bon escient l'écriture fractionnaire pour rendre compte d'un mesurage.
Il n'a pas commis d'erreur.
Raphaëlle sait :
  • calculer la moitié de 1, puis de 0,5 ;
  • décomposer et recomposer des aires ;
  • effectuer une addition de nombres décimaux en colonne.
Elle s'est trompée en dénombrant les petits triangles isocèles, puisqu'elle en omet deux.
2. Analyse comparée des procédures de Clément et de Cloé
Les deux élèves raisonnent de façon analogue, en regroupant quatre par quatre les petits triangles isocèles et en associant à chaque groupement la mesure d'aire : 1 cm2.
Ils donnent la même réponse numérique décimale : 10,3.
Cependant, Clément obtient sa réponse en dénombrant (correctement) les petits triangles rectangles isocèles, puis en posant et effectuant la division euclidienne de 43 par 4. Il interprète – ou en tout cas transcrit – de façon erronée le reste de la division comme le nombre de dixième du résultat.
Cloé, quant à elle, a réalisé les groupements de triangles sur la figure et comptabilisé (correctement) les cm2 entiers correspondant. Elle aussi interprète et retranscrit le nombre de triangles restant comme le nombre de dixièmes du résultat. Elle tente de vérifier le résultat par le calcul (correct mais inachevé). Comme il y a contradiction entre les deux réponses, elle s'en tient à la première et barre son calcul.
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