Calculer avec des vecteurs

• Dans un plan muni d'un repère (O ; I, J), à tout vecteur $\vec u$ est associé un unique point M tel que $\overrightarrow {\rm{OM}} = \vec u$ , le point M est l'image de l'origine O du repère par la translation de vecteur $\vec u$ .
Par définition, les coordonnées de $\vec u$ sont celles de M : si M a pour coordonnées $\left( {x\,;\;y} \right)$ , le vecteur $\vec u$ a pour coordonnées $\left( {x\,;\;y} \right)$ , on écrit $\vec u\left( {x\,;\;y} \right)$ ou aussi $\vec u\left| {\begin{array}{l} x \\ y \\ \end{array}} \right.$ . Par exemple, sur le dessin ci-dessous on a : $\vec u\left( {3\,;\;4} \right)$ .

Zoom

Il en découle que deux vecteurs $\vec u\left( {x\,;\;y} \right)$ et $\vec v\left( {x'\,;\;y'} \right)$ sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées : x = x'

• Il est facile de calculer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow {\rm{AB}}$ quelconque à partir des coordonnées des points A et B. Dans un repère du plan, soit A un point de coordonnées $\left( {x_{\rm{A}} \,;\;y_{\rm{A}} } \right)$ et B un point de coordonnées $\left( {x_{\rm{B}} \,;\;y_{\rm{B}} } \right)$ , alors le vecteur $\overrightarrow {\rm{AB}}$ a pour coordonnées $\left( {x_{\rm{B}} - x_{\rm{A}} \,;\;y_{\rm{B}} - y_{\rm{A}} } \right)$ .

• Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs de coordonnées $\vec u\left( {x\,;\;y} \right)$ et $\vec v\left( {x'\,;\;y'} \right)$ , alors :
– la somme de deux vecteurs $\vec u(x\,;\;y)$ et $\vec v(x'\,;\;y')$ est un vecteur $\vec u + \vec v$ qui a pour coordonnées $\left( {x + x'\,;\;y + y'} \right)$ ;
– le produit d'un vecteur $\overrightarrow u (x\,;\;y)$ par un réel k est un vecteur $k\overrightarrow u$ qui a pour coordonnées $\left( {kx\,;\;ky} \right)$ .

• Soit deux vecteurs de coordonnées $\vec u\left( {x\,;\;y} \right)$ et $\vec v\left( {x'\,;\;y'} \right)$ .
La colinéarité des deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ se traduit par deux égalités :
$\vec v = k\vec u$ si et seulement si x' = kx

.
Elle se traduit aussi plus simplement par une égalité de proportionnalité dite des « produits en croix » :
$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si xy' = x'y

.
Par exemple, les vecteurs $\vec u\left| {\begin{array}{l} 3 \\ { - 2} \\ \end{array}} \right.$ et $\vec v\left| {\begin{array}{l} { - 7,5} \\ 5 \\ \end{array}} \right.$ sont colinéaires car $3 \times 5 = ( - 2) \times ( - 7,5) = 15$ .

• Si A et B sont deux points de coordonnées respectives $\left( {x_{\rm{A}} \,;\;y_{\rm{A}} } \right)$ et $\left( {x_{\rm{B}} \,;\;y_{\rm{B}} } \right)$ , alors on a tout naturellement :
$\left\| {\overrightarrow {\rm{AB}} } \right\| = \sqrt {\left( {x_{\rm{B}} - x_{\rm{A}} } \right)^2 + \left( {y_{\rm{B}} - y_{\rm{A}} } \right)^2 }$ .
Test n°1 Test n°2 Test n°3