Calculer une probabilité conditionnelle

• On considère une expérience aléatoire et deux événements quelconques de probabilités non nulles, A et B.
Si je sais que l'événement A est ou va être réalisé, alors :
– les issues possibles se réduisent à celles qui réalisent A ;
– les issues qui réalisent B se réduisent à celles qui réalisent à la fois A et B.

• La « probabilité de l'événement B, sachant que l'événement A est réalisé », notée P_A (B), est alors $\frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A}.$
Or : $\frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A}=\frac{\frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A\cap{B}}{\mathrm{nombre\,d'issues}}}{\frac{\mathrm{nombre\,d'issues\,de}\,A}{\mathrm{nombre\,d'issues}}}=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}.$ On calcule donc une probabilité conditionnelle à l'aide de la définition suivante :
$P_{A}(B)=\frac{P(A\cap{B})}{P(A)}$

• On retrouve sur les probabilités conditionnelles les propriétés habituelles d'une probabilité, c'est-à-dire :
$P_{A}(\overline{B})=1-P_{A}(B)$ ;
$P_{A}(B\cup{C})=P_{A}(B)+P_{A}(C)-P_{A}(B\cup{C})$ .

• Très souvent, dans la pratique comme dans les problèmes posés, on connaît P_A (B) et on veut trouver soit $P(A\cap{B})$ , soit P_B (A).
On utilise la relation : $P_{B}(A)=\frac{P(A)P_{A}(B)}{P(B)}$
Test n°1 Test n°2 Test n°3